こんにちは、訪問ありがとうございます
今回は、
体系問題集 数学2 (発展編)
の問題解説です。
長男くんとのノート代わりになっているので、
興味のない方はスルー推奨です。
これは、B問題(標準レベル)です。
ですが、丁寧に考えないと理解し難い問題です。
(1)は簡単ですね。
(2)の布石として、平面BDGで切るとどうなるか？
と言う問題です。
正三角形BDGの内接円ですね。
BDに垂直2等分線上に切断円の中心があるのがポイントです。
(2)です。
CP＝CQから、PG＝QGですね。
三角形PQGにおけるPQの垂直2等分線上に接点があることがポイントです。
○RはAC上にある
このため、R、C、G、接点Sは全て平面ACG上にあるのです。
これが、理解できれば
平面ACGにその点を落とし込んだ図を書いて計算するだけです。
RC＝xとする。
1点からの接線の距離は等しいため
TR＝RS また、GS＝GUであり
RG＝(2√2−x)＋2√2
△RCGに三平方の定理を使って
計算してx＝√2
CP＝2
求める体積は
1/3×1/2×2×2×4＝8/3
B問題ではありますが、
体系問題集 幾何編のラストのB問題で
今までやったB問題では
1番難しく
なかなか良い問題だなと思いました。
321はC問題です。
(1)点oから平面ABCDへの垂線の高さですが、
垂線の高さは、
「点Oから平面ABCDへの最短距離」と言い換えることが出来ます。
従って、点Oから、辺ABへの垂線9cmが答えにはなりません。
正方形ABCDの対角線の交点までの距離が最短距離となります。
対角線の交点をH
ABの中点をMとすれば、
△OHMは直角三角形です。角OHMが90度です。
※角OMHが90度ではないですよ！
三平方の定理定理を使って
9×9−3×3＝OH×OH
OH＝6√2です。
(2)がこの問題の核心部分です。
下図において
NはCDの中点
EABFは水面としています。
GはEFの中点
点Oからの水面までの高さです。
(1)と同様に、点Oから水面までの最短距離です。
従って、図のxと図のyを比べると
yの方が短いことが分かりますね。
だから、xは答えになりません。
点Oから、辺ABまでの距離で最短な所で切断しないと
水面までの最短距離は求められないのです。
従って、求める最短距離はyとなります。
※どうして、xが答えにならないのか？
どうして、yが答えになるのか？
これを理解せずになんとなく真ん中で切ればいいだろ！
的な発想では数学も実力がつきません。
論理的な思考に基づいて
答えを出す必要があるのです。
答えを出すだけなら、なんとなくで出せますが、
どうしてそうかをよく分かって欲しいのです。
図のMN＝6ですから
△MNGと△OMGに三平方の定理を使って
方程式を解けばy＝7です。
(9×9−y×y)＋(9−y)×(9−y)＝6×6
(3)水面EABFが等脚台形です。
相似を使って、CD×7/9＝EF
GMは(2)から√(9×9−7×7)＝4√2
答えは省略して64/3√2です。
幾何編残すは数ページです。
今年中に終わらせたいけど、
考えるのが嫌だな〜。
なんか、見るからに難しそうなのあるんですよね〜。