こんにちは、訪問ありがとうございます。
本日は、チャート式体系数学の三平方の定理と空間図形です。
いよいよ、最後の最後に近づいて参りました。
長男くん:中学1年生 数学と英語にのみ力を入れている中高一貫校生
私(医師)と共に、旧帝大医学部を目指す！
上が青チャート🧭🧭🧭
下が体系数学2 🧭🧭🧭🧭🧭
正四面体と球の問題です。
①正四面体の「(各面に)内接している球」
チャート式体系数学2 幾何編p162
青チャート数学IAp260
②正四面体の「各辺に接する球」
青チャート数学IAp261
③正四面体の各頂点を通る球」
チャート式体系数学2 幾何編p163
体系問題集数学2(発展編)p87
の3パターンが題材としてはあります。
※すべての球の中心は頂点から底面に下ろした垂線上にあります。
※外接球の中心と内接球の中心は一致します。
本日の題材は①です。
解説や別解も手厚く、重要事項の様です。
今回はこれを解説していきます。
(自分と長男くんがより良く理解するための解説です)
先ず、正四面体の頂点から、底面に垂線を下ろすとどうなるか？
前置きとして、
机に三角定規を立てます。
これをHを軸としてクルクルと回します。
Hは直角の角です。
。
図が分かりにくいかもしれませんが、
角度OHAと角度OHBは90度になりますね。
重要な性質です。
この平面にどの様な点αをとっても、角度OHαは90度になります。
下の画像の左上の図を見てください。
△ABHと△ADHと△ACHにおいて、
AH共通、AB＝AC＝AD
角AHB＝角AHC＝角AHD＝90度
直角三角形の斜辺と1辺が同じことより
3つの三角形は合同。
すなわち、BH＝CH＝DH
点Hは△BCDのおける重心である。
垂線AH上に中心Oがあり、
Hは垂線＝面BCDと垂直→Hは球と四面体の接点である。
☆正四面体の対称性から、
球の接点は、各面の重心
従って、接点は頂点から引いた中線上にあることがわかります。
正四面体は全て正三角形からなっており、
△DECは30、60、90度の三角形で
EC＝6 DE＝6√3ですね。
HE＝EF＝2√3 HD＝4√3
右上の図
直角三角形AHDより
AHの二乗＝144ー48＝96
AH＝√96＝4√3
右上の図
直角三角形AOFにおいて
三平方の定理定理より
48＋rの二乗＝(4√6-r)の二乗
計算すると
48＝144ーr×8√6
整理してr×8√6＝48
r＝√6
となります。
別解も
左下の図では相似を使ってだせます。
右下の図
正四面体を中心Oと各面からなる
4つの等しい4面体に分割。
正三角形の面積が36√3より
1つの体積は1/3×36√3×r(高さが半径)
12×r×√3
正四面体の体積 144√2
からも求められるようです。
いくつも解法があり、なかなか面白い問題ですね。
中1には少々難しいですが、
1つ1つ丁寧に考えれば、
理解できると思います。