こんにちは、訪問ありがとうございます
今日は灘中学の問題です。
IF＝2
ABFEとCGHDは平行なため切り口は平行同じ傾きであり
JH＝4 DJ＝2
同様に、
ピラミッド型の
KーAIGJの体積を求めるためには、
底面積AIGJとKまでの高さを求めないといけません。
AIGJは平行四辺形で面積が求められない。
高さもできなさそうです。
直接求めるのは諦めましょう。
そうすると、立方体から、
求められる体積を引いて考えます。
まず、この図形を作ろうと思ったら
立方体から切り出しますね。
まず、AIGJで切り取りたくなります。
それから、さらに
AKJで切って
AIKで切れば
ピラミッドが作れますね。
ここでは、
AE、BF(BI)、CG(CK)、DH(DJ)がすべて平行であるため、
断頭四角柱です。三角形に分けて、断頭三角柱にします。
平面ACK(ACG)で切断します。
立体ABCDーIGJは
立体ABCーIGとACDーGJになりますね。
△ABCと△ACDは面積共に18です。
立体ABCーIGは18×(0＋4＋6)÷3＝60
ACDーGJは18×(0＋6＋2)＝48
立体ABCDーIGJは60＋48＝108
そこから、
立体ACDーKJを切り出して、
体積は18×(0＋3＋2)÷3＝30
もう一個、
立体ABCーIKを切り出して
体積は18×(0＋4＋3)÷3＝42
求める体積は
108−30−42＝36です。
立体に苦手意識があると、
難しく感じられますが、
やっていることとと
計算はシンプルです。
平行な柱が3本から4本あり、
その柱と、1点を結ぶ立体は、
三角柱や四角柱であると
すぐ認識できるようになりましょう。
②にいきます。
平面BDGできる。
BGとIKの交点をL
DGとJKの交点をM
AKの切断面との交点をNとします。
立体KーLMNGが求める立体の体積です。
これは、四角錐です。
三角錐に分けるためには、
平面AEGCできるか、
平面KIJできるかどちらかです。
平面AEGCは点Kも含んでおり、
AKが切断面になるので、好都合です。
図をよく見ると
頂点Kを共有する三角錐になっている事が
分かりますか？
KーAIGとKーNLG
KーAGJとKーNGM
ですね。
①で求めたKーAIGJは
平面AEGCでちょうど半分になります。
(平行四辺形AIGJは対角線AGで半分で、
AK、KGで切断されています)
あとは、比を求めます。
KN:KAは後回しにします。
KL:LI＝KG:BI＝3:4
KL:KI＝3:7
KM:MJ＝KG:DJ＝3:2
KM:KJ＝3:5
この二つ正方形BFGC、正方形CGHDに
辺の長さを書いて求めます
平面BDGと
平面AEGCの
交点は
ACとBDとの交点P(対角線の交点で中心)
共通点Gです。
また、Nも二つの平面の交点です。
第一回目の
平面と平面の交点は全て一直線上にある
という事を思い出してください。
従って、P、N、Gは一直線
KからPQにPCと並行な線を引きQとします。
それが、上記の写真に図示されています。
KN:KAは1:2
KN:KA＝1:3ですね。
あとは計算するだけです。
私が解いたら、
試験時間が全てこの問題1題で消費されてしまいます。
KーNLG＝3/7×1/3×1×KーAIG(18)
＝18/7
KーNGM＝1/3×3/5×1×KーAGJ(18)
＝18/5
足して答えは216/35
さすが、
全国最難関中学にして、
東大医学部に最も合格者を出す学校だけありますね。
とても難しい問題です。
1日目の問題で50分で大問13題ですから
この問題に20分もかけたら超やばいです。
解いちゃう人は10くらいでサクサクしちゃうのかな？！
やばすぎでしょ。
時間をかけても
数学の偏差値60くらいの大学受験生には
解けない人続出だと思います。
数学の偏差値70くらいあれば解くでしょうけどね。
しかし、これだけで、
錐体あり、柱体あり
比の問題あり
平面と平面の交点は一直線ありの
だいぶ内容が濃い問題でした。
マジで灘中学ヤバい。
満点取る人とかいるみたいよ、、、
最難関中学受験生や
中高一貫校の中学1〜2年生には
ぜひ解いて学んで欲しい問題でした。
私はこれを完全に理解するのに、
1時間くらいはかかりました。
いやーポンコツ脳が、フル回転しちゃったわ😤
次回は
チャート式体系数学2 幾何編です。
はっきり言って
今日の内容が理解できれば、
拍子抜けしていまう内容ですが、
立体と平面の関係がわからないと解けない問題です。