三つの扉 その１

このゲームは、以前に三つのコップと言う題名で記事に紹介したものと同じです。

テレビのクイズ番組で三つの箱を準備し、その内の一つに３０万円の賞金を入れておきます。

視聴者から選ばれた挑戦者は一つを選びますが残りの二つのうちの一つを司会者がオープンし、挑戦者は自分の箱を最後に残った箱に変更できるチャンスを与えられます。

では箱を変えた方が良いのか、変えない方が良いのか、それとも変えても変えなくてもどちらでも期待値は同じなのか、というのが問題です。

多くの人は、オープンになっていない２つの箱の中身は分からないのだから、変えても変えなくても期待値は同じだと感じます。

ところが正解は、何と必ず挑戦者は箱を変更しなければなりません。

なぜでしょうか。

ポイントは、司会者は賞金の入った箱を知っている、と予想しなければならない、という事です。

もし司会者が当たりの箱を知っていなければそれをオープンしてしまうかもしれず、もし司会者が当たりの箱をオープンしてしまえば番組として可笑しな番組になってしまいます。

なぜなら、オープンした後、箱を変えますか、というのが問題の趣旨だからで、もしもあたりをオープンしてしまえば、変えますかという場面がなくなってしまうからです。

間違えずに、箱を必ずチェンジする、という正解を導くには、箱の数を増やせばよく分かります。

３つのうちの一つだから、期待値は３０万円の３分の一で１０万円、これが三つの場合です。

では３０個ならどうでしょうか。

どれか一つを挑戦者は選択し、司会者は残りの２９個のうちの一つをオープンします。

すると残りは２８個。

次にその２８個のうちの一つをまた司会者はオープンし、さらに残りの中から司会者は一つをオープンし、次々とオープンしていくのですが、じっと挑戦者は我慢して自分の箱を変更せずに見守ります。

３０個の箱はやがて２０個、１０個となり３個、そして最後の２個まで絞られます。

２８個がオープンされ、挑戦者の箱と、そうでない箱の二つに絞られますのでこの時、挑戦者は必ず箱を変えなければなりません。

期待値は挑戦者の箱は１万円、残った箱は２９万円なのですけれども勿論これは、司会者が当たりの箱を知った上でハズレの箱をオープンしているからで、闇雲にオープンしている訳ではないからです。

分かりやすく言えば、この場面では最初に選んだ箱の期待値と、残り２９個のどれかに入っている期待値との二者択一になっています。

つまり２８個の箱はオープンになっていますので期待値はゼロですから、どちらかの箱に賞金が残されていますが、挑戦者の箱は最初の１万円のままですので、もう一つの箱が２９万円になります。

三つの場合も同じです。

オープンしていない残りの二つのどちらかに必ず賞金がありますので、期待値は挑戦者の箱は１０万円のままですが、もう一つの箱は２０万円に増えています。

これは非常に有名なパラドクスです、次回、解説を少ししてみます。