こんばんは。
最近も生活に変化はなく、基本的に家とバイト先の塾を往復する毎日が続いています。
今日も朝9時から15時までバイトをして、少し昼寝をし、多様体の勉強を少しと微分方程式についでも少し本を読みました。
その中で、微分方程式における大定理である常微分方程式の解の存在と一意性の証明が載ってあって、しっかり書き写しながら勉強しました。
ステートメントと、証明の概略を自分の思考の整理のために残しておきたいと思います。
定理(常微分方程式の解の存在と一意性)
関数f が、長方形領域D上で連続かつリプシッツ条件を満たしているとする。
ただし、D={x : |x-α|≦a, |y-β|≦b }とおく。
Dにおける|f(x,y)|における最大値をMとすると、
初期値問題、y'=f(x,y) ,y(α)=β
の解が、I={x: |x-α|≦min{a,b/M} }に対して存在し、しかもただ１つである。
証明の概略をいかに述べます。
逐次近似法で示します。
関数列{y_n(x)}を、
y_0(x)=β
y_(n+1)=β+∫[t=α, t=x] f(t, y_n(t))dtにより定めます。
そしてこのy_nが、n→∞とした時に初期値問題の解に収束することを示します。
1. 各近似解y_nは、I上で連続で、|y_n-β|≦bを満たす。
これは帰納法を用いて示します。
2. 近似解y_nは、n→∞とした時に区間I上で、ある関数φ(x)に一様収束し、|φ(x)-β|≦bが成り立つ。
これは、途中でWeierstrassのMテストを用います。
3. 近似解の列{y_n}の極限関数φ(x)は、初期値問題を満たす。
連続関数の列が一様収束するならば極限関数が連続であること、
関数が一様収束しているなら∫とlimの交換ができることなどを用います。
ここまでで、初期値問題の解が存在することは示されました。最後に一意性を証明すれば完了です。
道のりは長いですが、１つ１つしっかり抑えていけば理解できました。
何も見ずに講義のように他の人にできるように地道に練習していこうと思います。