数学の問題を解いて見ました
p,q,rをそれぞれ三角形の辺の長さとする
その時
p2q(p-q)+q2r(q-r)+r2p(r-p)≧0
を示す
p≧0,q≧0,r≧0
p,q,rを
p→q,q→r,r→pを繰返して出来る式は
どれも同じなので
p≧q≧r
q≧r≧p
r≧p≧q
は、どれか1つを示せばよい
r≧q≧p
p≧r≧q
q≧p≧r
も、どれか1つを示せばよい
p,q,rの3文字の並べ方は3!=6通りなので
上記6通りですべての場合となる
p≧q≧rとした場合
p-q≧0 … ①
q+r≧p (短い2辺の合計≧1番長い辺)なので
r≧p-q を代入
p2q(p-q)+q2r(q-r)+r2p(r-p)
≧p2q(p-q)+q2(p-q){q-(p-q)}+(p-q)2p{(p-q)-p}
＝p2q(p-q)+q2(p-q)(2q-p)+(p-q)2p(-q)
＝(p-q){p2q+q2(2q-p)-(p-q)pq} … ①より
≧p2q+q2(2q-p)-(p-q)pq
＝p2q+2q3-pq2-p2q+pq2
＝2q3
≧0
r≧q≧pとした場合
r-p≧0 … ①
q+p≧r (短い2辺の合計≧1番長い辺)なので
q≧r-p を代入
p2q(p-q)+q2r(q-r)+r2p(r-p)
≧p2(r-p){p-(r-p)}+(r-p)2r{(r-p)-r}+r2p(r-p)
＝p2(r-p)(2p-r)+(r-p)2r(-p)+r2p(r-p)
＝(r-p){p2(2p-r)+(r-p)r(-p)+r2p} … ①より
≧p2(2p-r)+(r-p)r(-p)+r2p
＝2p3-p2r-pr2+p2r+pr2
＝2p3
≧0
よって
p≧q≧r
q≧r≧p
r≧p≧q
r≧q≧p
p≧r≧q
q≧p≧r
の全ての場合を示せた
これで良いかと思いますが
また勘違いやミスがあると思います