4桁の3つの数字が等差数列になっていて、3つの数字は各桁の数字の組み合わせが同じ、そして、3つの数字はそれぞれ素数であるという問題です。
力づくでやってしまっても、解けてしまう問題なのですが、これを手計算でどこまで解けるか考えてみようということにします。
4桁の数字を考えます。
この数字が素数だとすると、末尾の桁は1，3，7，9のいずれかになります。
4桁の3つの数が等差数列になるのですが、各数字は素数なので、等差は偶数になります。
そして、末尾の桁は
A)等差の末尾が2の場合、末尾の数字は7→9→1、9→1→3のどちらかです。
B)等差の末尾が4の場合、末尾の数字は3→7→1、9→3→7のどちらかです。
C)等差の末尾が6の場合、末尾の数字は1→7→3、7→3→9のどちらかです。
D)等差の末尾が8の場合、末尾の数字は1→9→7、3→1→9のどちらかです。
E)等差の末尾が0の場合、末尾の数字はすべて同じです。
等差の末尾が0でなければ、4つの数字のうち3つがこれで決まることになります。
A～Ｄの場合を考えると、4桁の数字は3の倍数を除外して、
{0,1,7,9},{1,2,7,9},{1,3,7,9},{1,5,7,9},{1,6,7,9},{1,7,8,9},{1,7,9,9}
{0,1,3,9},{1,1,3,9},{1,3,3,9},{1,3,4,9},{1,3,6,9},{1,3,9,9}
{0,1,3,7},{1,2,3,7},(1,3,3,7),{1,3,5,7},{1,3,6,7},{1,3,7,8},{1,3,7,9}
{0,3,7,9},{3,3,7,9},{3,4,7,9},{3,6,7,9},{ 3,7,7,9},{3,7,9,9}
の26通りです。
まずは、どこかの桁が同じという場合は除外して考えることにします。
上1桁が順に増加し、等差数列の可能性があるものを選びますが、末尾の数字も制約を受けるので、真ん中の2桁の組み合わせを含めて以下の数列のみになります。
5{19}7→7{15}9→9{57}1,
5{79}1→7{15}9→9{15}7,
6{19}7→7{16}9→9{67}1,
7{89}1→8{17}9→9{18}7,
1{34}9→3{49}1→4{19}3,
3{16}9→6{39}1→9{16}3,
3{57}1→5{13}7→7{15}3,
6{37}9→7{69}3→9{36}7
しかし、この中に等差数列は含まれません。
Eも含めてどこかの桁が同じという場合、3桁の等差数列が存在する必要があります
同じ数字が含まれる場合は、等差数列を作ることができないので、必ず3桁の数字は違う数字が入ることになります。
例えば{1,2,3}を使って3桁の数字を作った場合、小さい順で並べると
123-(9)-132-(81)-213-(18)-231-(81)-312-(9)-321：括弧は2つの数字の差
となり、どの3つを取っても等差数列になりません。つまり、連続する3数を使った3桁では成立せず、同様に{1,3,5}や{1,4,7},{1,5,9}のような等間隔の場合も成立しません。
{1,2,4}のような場合、
124-(18)-142-(72)-214-(27)-241-(171)-412-(9)-421
となり、不成立です。{1,3,4}の場合は差が逆順に並ぶだけで同じ結果になります。
{1,3,6}でも
136-(27)-163-(153)-316-(45)-361-(252)-613-(18)-631
となり不成立
{1,4,8}だと
148-(36)-184-(234)-418-(63)-481-(333)-814-(27)-841
となり、148-481-814で等差数列が出来上がります。
{1,5,8}でも
158-(27)-185-(333)-518-(63)-581-(234)-815-(36)-851
となり、185-518-851で成立します。
同様に、259-592-925、296-629-962も成立します。
つまり、この4通りしか存在しません。
この4通りの末尾には偶数もしくは5となる数字が含まれており、末尾に1,3,7,9のいずれかを足した数字になるので、
1481-4811-8141
1483-4813-8143
1487-4817-8147
1489-4819-8149
1853-5183-8513
1859-5189-8519
2591-5921-9251
2593-5923-9253
2597-5927-9257
2599-5929-9259
2963-6293-9623
2969-6299-9629
の12通りだけを確かめればよいということになります。
12通りなら、かなり計算も楽になりました。