こんばんは！
最近仕事ばかりで気が滅入るので、また少しずつブログ更新していきます！
最近ふと気になった期待値について書き綴ります。
(テーマは....？)
突然ですが私はofficial髭男dismが好きで、ファンクラブにも入っています。
ファンクラブ会員になるといくつか特典があります。
その中で今回はヒゲダンクエストがテーマです。
ヒゲダンクエストはRPG風のゲームが１日2回プレイできるものです。
内容はシンプルで、攻撃を１日2回選ぶことができ、
敵を倒すと次のステージへと進んでいけます。
このゲームが面白いのは確率が絡んでくる点です。
実例を交えて紹介しましょう。
★体力100の敵に対して・・・
【こうげきA】 100%：10ダメージ
【こうげきB】 50%：15ダメージ/50%：5ダメージ
【こうげきC】 50%：20ダメージ/50%：0ダメージ
各攻撃とそのダメージ、確率が上のように設定されています。（多分）
さて、あなたならどの攻撃を選びますか？
・こうげきAを使い続けた場合、丸5日で敵を倒せます。（毎回10ダメージ）
・こうげきBを使い続けた場合、最短で3日半で敵を倒せます。(毎回15ダメージとして)
※ただ最長で丸10日かかってします（毎回5ダメージしか出なかった場合）。
・こうげきCを使い続けた場合、最短で2日半で敵を倒せます。(毎回20ダメージとして)
※ただ毎回0ダメージしか出なかった場合、いつまで経っても敵は倒せません。
こうげきAも、Bも、Cも、
実は期待値自体は一緒です。
①こうげきA→10*1=10
②こうげきB→5*0.5+15*0.5=10
③こうげき→0*0.5+20*0.5=10
すべて期待値は10で変わらないので、
理論的にはA、B、Cのどの選択肢を選んでもOKです。
ただ、どーしても納得できません。
私はなんとなくこうげきCを選びたくなります。
同じような人もいるのではないでしょうか？
なぜ期待値は同じなのに違和感があるのでしょうか？
「時間をかけ放題」という場合は置いておいて、
「少ない回数でクリアしたい」という目標がある場合、
期待値が同じ＝どの選択肢でも変わらないということにはならないと気づきました。
わかりやすいのでA(毎回10ダメージ）とC（20or0ダメージ)を比べてみます。
毎回こうげきAを繰り返した場合、10回攻撃を繰り返せば100%敵を倒せます。(10*10=100)
こうげきCを選び続けた時、10回以内にクリアできない確率はどれくらいなんでしょうか？
【計算方法】
攻撃のチャンスは全部で10回。その中で成功が4回以下しかない確率を考えれば良い。
つまり(10C4+10C3+10C2+10C1+10C0)*(1/2)^10が求める確率である。
計算すると、(210+120+45+10+1)×1/1024=386/1024≒37.7%
こうげきCしか選ばなかった場合、
クリアまでに11回以上かかる確率は約38%ということがわかりました。
62%の確率でこうげきA以下の回数でクリアできる！
ちなみに9回以内にクリアできる確率は50%なので、
Aより少ない回数でクリアできる確率=50%
A以下の回数でクリアできる確率=62%
Aより回数がかかる確率=38%
となります。
同じ選択肢しか出し続けられない場合、
どうやらこうげきCを選ぶ方が良さそうです。
となると次に気になるのはBです。
これはダメージが2種類あるので少し検討が必要です。
ダメージ5、15が各5回でちょうど100ダメージなので、
10回以内にクリアするにはダメージ15が5回出ればよいことになります。
Cと同条件になっているのがわかりますか？
つまりA以下の回数でクリアできる確率は62%です。
次にAより少ない回数でのクリア確率を考えてみます。
Cの50%より高ければ、Bを連続で使う方がベターです。
今回、ダメージ15が5回では足りません。
その場合5ダメージが4回しか与えられず、
合計95ダメージで微妙に足りないのです。
ということはCよりも確率が低くなることが分かると思います。
（Cは20ダメージが5回で足りた)
以上を考えると全く同じ選択肢しか使わない場合は、
C＞B＞Aの順で選択肢として望ましい
ことがわかりました。
ただ実際は毎回選択肢を変えられるので、
このゲームの最適な戦略にはもう少し検討が必要です。
上で「Bで9回以下でクリアするにはダメージ15が5回では足りない」と説明しましたが、Aも使っていいなら話は変わります。
8回目で90ダメージを与えた場合、9回目はAを選べば確実に敵を倒せます。
それも考慮すると結果が変わりそうですよね。
ヒゲダンクエストをもうクリアしてしまったので考察しても意味がないのですが、意外と実際に計算して考えるのは楽しいですね！
時間があれば、A,B,Cを組み合わせた場合の戦略についても考えてみたいです。
ではでは
