今日は、2016年に聖光学院中学校で出題された整数の性質(ベン図を使って解く問題) を紹介します。
親子で挑戦してみてください！
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３桁の整数の中で21との最大公約数が１となるものは全部で何個ありますか。
聖光学院中学校 (2016年)
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21＝３×７より,21との最大公約数が１となる整数は,３の倍数でも７の倍数でもない整数です。
３桁の３の倍数の個数を求めます。
999÷３＝333,99÷３＝33より,３の倍数は１から999までに333個,１から99までに33個あるので,３桁の３の倍数は,333－33＝300(個)
あります。
３桁の７の倍数の個数を求めます。
同様に計算すると,999÷７＝142 余り５,99÷７＝14 余り１より,
３桁の７の倍数は,142－14＝128(個)
同様に計算すると,999÷７＝142 余り５,99÷７＝14 余り１より,
３桁の７の倍数は,142－14＝128(個)
あります。
３桁の21の倍数の個数を求めます。
同様に計算すると,999÷21＝47 余り12,99÷21＝４ 余り15より,
３桁の21の倍数は,47－４＝43(個)
３桁の21の倍数は,47－４＝43(個)
あります。
これより,図１のようなベン図が書けます。
図１
３または７の倍数の個数は,図２より,300＋128－43＝385(個)と求められます。
図２
また,３桁の整数は全部で,999－99＝900(個)あります。
よって,３桁の整数の中で21との最大公約数が１となるもの(３の倍数でも７の倍数でもない整数)は,図３より,
図３
900－385＝515(個) ……(答え)
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