今日は,場合の数の分野で有名な階段を昇る場合の数の問題を紹介します。
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■問題
１歩で１段または２段のいずれかで階段を昇るとき,８段の階段を昇る昇り方は何通りあるか答えなさい。
(2015年 昭和学院秀英中学校 難易度★★★★☆)
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■解答・解説
① もし,階段が１段だとした場合,
昇り方は１通りです。
② もし,階段が２段だとした場合,
昇り方は,１歩ずつ昇る場合と２段一気に昇る場合の２通りです。
③ もし,階段が３段だとした場合,
昇り方は,
(１) １段目から２歩(２段)昇る場合(図１)か,
(２) ２段目から１歩(１段)昇る場合(図２)があります。
(１)は１段目までの昇り方は,①より１通りなので,１通りになります。
(２)は２段目までの昇り方は,②より２通りなので,２通りになります。
よって,合計は,１＋２＝３通りになります。
④ もし,階段が４段だとした場合,
昇り方は,
(１) ２段目から２歩(２段)昇る場合か,
(２) ３段目から１歩(１段)昇る場合があります。
(１)は２段目までの昇り方は,②より２通りなので,２通りになります。
(２)は３段目までの昇り方は,③より３通りなので,３通りになります。
よって,合計は,２＋３＝５通りになります。
⑤ もし,階段が５段だとした場合,
昇り方は,
(１) ３段目から２歩(２段)昇る場合か,
(２) ４段目から１歩(１段)昇る場合があります。
(１)は３段目までの昇り方は,③より３通りなので,３通りになります。
(２)は４段目までの昇り方は,④より５通りなので,５通りになります。
よって,合計は,３＋５＝８通りになります。
⑥ もし,階段が６段だとした場合,
昇り方は,
(１) ４段目から２歩(２段)昇る場合か,
(２) ５段目から１歩(１段)昇る場合があります。
(１)は４段目までの昇り方は,④より５通りなので,５通りになります。
(２)は５段目までの昇り方は,⑤より８通りなので,８通りになります。
よって,合計は,５＋８＝13通りになります。
⑦ もし,階段が７段だとした場合,
昇り方は,
(１) ５段目から２歩(２段)昇る場合か,
(２) ６段目から１歩(１段)昇る場合があります。
(１)は５段目までの昇り方は,⑤より８通りなので,８通りになります。
(２)は６段目までの昇り方は,⑥より13通りなので,13通りになります。
よって,合計は,８＋13＝21通りになります。
⑧ 本問の場合,つまり,階段が８段の場合,
昇り方は,
(１) ６段目から２歩(２段)昇る場合(図３)か,
(２) ７段目から１歩(１段)昇る場合(図４)があります。
(１)は６段目までの昇り方は,⑥より13通りなので,
13通りになります。
(２)は７段目までの昇り方は,⑦より21通りなので,
21通りになります。
よって,合計は,13＋21＝34通り ……(答え)
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ちなみに,
１段：１通り。
２段：１＋１＝２通り。
３段：１＋２＝３通り。
４段：２＋３＝５通り。
５段：３＋５＝８通り。
６段：５＋８＝13通り。
７段：８＋13＝21通り。
８段：13＋21＝34通り。
１,２,３,５,８,13,21,34 ……
となっていて,数列の中の連続する３つの数のうち,前に並んでいる２つの数の和が
その次の数になっている数列をフィボナッチの数列といいます。
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