中央法学部法律学科の数学の問題 朝飯前
問）中央法学部法律学科の数学の問題
0<θ<90°とする。θが関係式
4cosθsinθsin3θ＝cos3θ
を満たすとき、cosθ、cos2θ、cos4θの値を求めよ
解）
加法定理から
sin3θ＝sin(θ+2θ)＝sinθcos2θ+cosθsin2θ
cos3θ＝cos(θ+2θ)＝cosθcos2θ-sinθsin2θ
sin2θ＝2sinθcosθ
cos2θ＝1-2sin^2(θ)
よって
sin3θ＝sinθ(1-2sin^2(θ))+cosθ(2sinθcosθ)
＝sinθ-2sin^3(θ)+2sinθcos^2(θ)
＝sinθ-2sin^3(θ)+2sinθ(1-sin^2(θ))
＝sinθ-2sin^3(θ)+2sinθ-2sin^3(θ)
＝3sinθ-4sin^3(θ)
cos3θ＝cosθ(1-2sin^2(θ))-sinθ(2sinθcosθ)
＝cosθ-2sin^2(θ)cosθ-2sin^2(θ)cosθ
＝cosθ-4sin^2(θ)cosθ
cos4θ＝cos(2x2θ)＝1-2sin^2(2θ)＝1-4sin^2(θ)cos^2(θ)
これを条件
4cosθsinθsin3θ＝cos3θ
に代入すると
4cosθsinθ(3sinθ-4sin^3(θ))＝cosθ-4sin^2(θ)cosθ
12sin^2(θ)cosθ-16sin^4(θ)cosθ＝cosθ-4sin^2(θ)cosθ
16sin^2(θ)cosθ-16sin^4(θ)cosθ＝cosθ
16sin^2(θ)-16sin^4(θ)＝1
16sin^4(θ)-16sin^2(θ)+1＝0
sin^2(θ)＝(16-√(16^2-4x16x1))/(2x16)＝(16-√(16(32-4)))/(2x16)
＝(16-√(16x4x7))/(2x16)＝(16-8√(7))/(2x16)＝(2-√(7))/4
したがって
cosθ＝√(1-sin^2(θ))＝√(1-((2-√(7))/4)＝√((1/2)-√(7)/4)
cos2θ＝1-2sin^2(θ)＝1-2(√((1/2)-√(7)/4))
cos4θ＝1-4sin^2(θ)cos^2(θ)＝1-4((2-√(7))/4)((1/2)-√(7)/4)
＝1-((2-√(7))((1/2)-√(7)/4)
＝1-((1-√(7)/2)-(√(7)/2-7/4))
＝1-(11/4-√(7))
＝-7/4+√(7)
となる