今日は数学教師の話を、思い出している。
「直線とＸ軸の関係は、交わるか、平行か、重なるかだ。２次曲線とＸ軸なら、接するか、２点で交わるか、交わらないかだ。グラフは数式に対応しているので、それぞれの場合について２次方程式は重根を持つ、異なる２つの解を持つ、虚数解を持つとなる。虚数解をもつ時、実数解は存在しない。方程式を解く時に、うまく因数分解できればいいけれど、解が分数だったり、無理数だったりする事もあるから、どうしても最後は解の公式に頼りたくなる。でも、解の公式は暗記するよりabcの定数を持つ２次方程式から自分で導けるようにしておいた方が良い。間違えて覚えていたり、思い出せなかったりするからね。３次曲線になると、極大値と極小値が問われる。また、左下から右肩上がりで現れて極大値を示して右肩下がり、極小値を示した後、また、右肩上がりで右上に去る形か、左上から右肩下がりに現れて、極小値を示した後、右肩上がり、極大値を示した後、右肩下がりに右下に去る形かが問題となる。前者は定数aが正、後者は負だ。３次関数を微分した２次関数はグラフの傾きを示す微分係数だ。プラスの値ならば、グラフは右肩上がり、マイナスの値ならば、グラフは右肩下がりになる。微分係数がゼロの時その点が極値だ。右肩上がりゼロ右肩下がりなら、その極値は極大値だし、右肩下がりゼロ右肩上がりなら、その極値は極小値だ。」
確かに３次曲線と微分系数、３次曲線とＸ軸との交点abc、斜線部分の面積を求めるaからcへの定積分は高校数学のハイライトだろう。