まず,一般性を失うことなくこの特異点(singularity;singular point)＝極の位置をｚ平面(z-plane)の原点(origin),つまりα＝0 とすることができます。
解析関数の極は常に孤立(isolate)しているのでｒ＞0 を十分小さくとってＡ(ｚ)が領域Ｄ：0＜|ｚ｜＜ｒにおいては１価正則であるようにできます。しかしＤは単連結ではないので,ｙ'＝Ａ(ｚ)ｙの解ｙ(ｚ)は一般にＤにおいて多価関数になります。
つまり,ｙ(ｚ)はｚ＝0 に分岐点(branch point)を持つ可能性がありますから,単葉ｚ平面(single-sheet z-plane)の代わりに例えば正の実軸に沿ってｚ＝0 からｚ＝∞ までの切断(cut)を持った複葉ｚ平面から成るリーマン面(Riemann sheets)を考える必要性が生じます。
再び,Ｗ(ｚ)をｙ'＝Ａ(ｚ)ｙの1つの基本行列とします。そして,ｚ＝0 にＡ(ｚ)が孤立した極(isolated pole)を持つ領域Ｄにおいて,ｚ＋≡exp(2πi)ｚとします。ＤにおいてＷ(ｚ)'＝Ａ(ｚ)Ｗ(ｚ),det[Ｗ(ｚ)]≠0 ですが,ｚ＋ももちろんＤ内の点ですからＷ(ｚ＋)'＝Ａ(ｚ＋)Ｗ(ｚ＋)と書くことができます。
Ｗ(ｚ＋)をｚの関数とみなしてＷ＋(ｚ)＝Ｗ(ｚ＋)と書けばＡ(ｚ)は領域Ｄにおいて１価正則なので,Ａ(ｚ＋)＝Ａ(ｚ)ゆえ,Ｗ＋(ｚ)'＝Ａ(ｚ)Ｗ＋(ｚ)となります。
したがって,Ｗ＋(ｚ)＝Ｗ(ｚ＋)もｙ'＝Ａ(ｚ)ｙの1つの基本行列となるので,ある定数行列Ｍ(det(Ｍ)≠0)が存在してＷ(ｚ＋)＝Ｗ(ｚ)Ｍが成立します。この行列Ｍをモノドロミー行列(Monodromy matrix)と呼びます。Ｙ(ｚ)＝Ｗ(ｚ)Ｐを基本行列とする場合にはモノドロミー行列は相似変換(similar transform)されてＰ-1ＭＰとなります。
そこで,はじめから相似変換によってＰ-1ＭＰがジョルダン標準形(Jordan canonical form)ＪとなるようにＹ(ｚ)を選びます。つまりＹ(ｚ＋)＝Ｙ(ｚ)Ｊです。そしてＪ≡exp(2πiΛ)とおくとｎ次の正方定数行列Λはモノドロミー行列Ｍのｎj重に縮退した固有値(degenerate eigenvalue)をαjとして2πiΛj＝logαj＋σj,σjm＝0 (ｍ≧ｎj)が成り立つようなｎj次の正方行列を対角線上に並べたものになります。
そしてＹ(ｚ)≡Φ(ｚ)exp(Λlogｚ)とｎ次の正方行列Φ(ｚ)を定義して,ｚをｚ＋≡exp(2πi)ｚに置き換えるとＹ(ｚ＋)＝Φ(ｚ＋)exp(Λlogｚ)exp(2πiΛ)＝Φ(ｚ＋)exp(Λlogｚ)Ｊとなりますが元々Ｙ(ｚ＋)＝Ｙ(ｚ)Ｊ＝Φ(ｚ)exp(Λlogｚ)ＪとなるようなＹ(ｚ)を考えているのでΦ(ｚ＋) ＝Φ(ｚ)です。つまり行列Φ(ｚ)は領域Ｄで１価正則です。
極の位置を原点ｚ＝0 ではなくｚ＝αに戻しＹ(ｚ＋)＝Ｙ(ｚ)ＪなるＹ(ｚ)を改めてＷ(ｚ)と書けば,結局Ｗ(ｚ)はＤで１価正則なΦ(ｚ)とｎ次の定数行列Λを用いてＷ(ｚ)＝Φ(ｚ)exp[Λlog(ｚ－α)]と表わせることがわかりました。
そしてΦ(ｚ)は一般にＤに属さないｚ＝αでは特異点を持つことがあり得ますが,Ｄで１価正則なのでそれは分岐点ではありません。そこでｚ＝αがたかだかΦ(ｚ)の極であるときには,それを確定特異点(regular singularity)であると言い,ｚ＝αがΦ(ｚ)の真性特異点(essential singularity)であるときには,それを不確定特異点(irregular singularity)であると言います。
そしてＷ(ｚ)＝Φ(ｚ)exp[Λlog(ｚ－α)]という形から,Ｗj(ｚ),Φj(ｚ)をΛjに対応するｎj次の正方行列とすればρj≡(logαj)/(2πi)と置くとき,Ｗj(ｚ)＝Φj(ｚ)(ｚ－α)ρjexp[σjlog(ｚ－α)/(2πi)]となり,σjm＝0 (ｍ≧ｎj)なのでexp[σjlog(ｚ－α)/(2πi)]はlog(ｚ－α)の(ｎj－1)次多項式(polynomial)となります。
特に固有値αjが縮退していない場合(non-degenerate eigenvalue)にはＷj(ｚ)＝Φj(ｚ)(ｚ－α)ρjであり,このときはＷj(ｚ),Φj(ｚ)は行列ではなくてｎ個の独立解の１つを表わしています。
以上が帝京大病院での入院初期時に勉強して得られた成果です。
参考文献:稲見武雄 著「常微分方程式」(岩波書店)
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