星(恒星:star)は重力(gravitation)によって束縛(bind)されたガスの塊り(gas fill)で,その表面から核融合(fusion)などの反応(nuclear reaction)で得られたエネルギー(energy)を放出しています。こうしたメカニズム(mechanism)の一端を述べてみます。
まず,今日は球対称な星(spherically symmetric star)の重力平衡(gravitational equilibrium)の話から始めます。
中心(center)から半径(radius)がｒ,ｒ＋ｄｒにおける圧力(pressure)をＰ,Ｐ＋ｄＰとすると,この圧力差によってｒとｒ＋ｄｒの間のガスはｒの増加する向き(radius-increasing direction)に単位面積当たり(per unit area)－ｄＰの力を受けます。一方,同じ領域のガスはｒの内側の質量(mass)Ｍ(ｒ)による重力で中心に向かって引き付けられて(attracted)います。
そこで,万有引力定数(universal gravitation constant)をＧ,半径ｒの位置の密度(density)をρ(ｒ)とすると,重力平衡,すなわち釣り合い(equilibrium)の条件は,－ｄＰΔＳ＝{ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)ΔＶ/ｒ2}＝{ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)/ｒ2}ΔＳｄｒ,つまり－ｄＰ/ｄｒ＝ＧＭ(ｒ)ρ(ｒ)/ｒ2で与えられます。また,Ｍ(ｒ)はＭ(ｒ)＝4π∫0rｒ2ρ(ｒ)ｄｒと書くことができます。他方,Ｐとρは一般に温度(absolute temperature)Ｔや組成(chemical composition)の平均分子量(mean molecular weigt)μなどで決まる気体の状態方程式(state equation of gas)Ｐ＝Ｐ(ρ,Ｔ,μ)を満足するはずです。
このため,温度Ｔを決定する関係式が必要となり,そのためには星の内部でのエネルギーの流れ(energy flow)を考えなければなりません。ガスのエネルギー密度(energy density)をＥ,そこでのエネルギー流束(energy flux)をＦとし,εを単位質量当たりの星によるエネルギー発生率(rate of energy production per unit mass)とすると,エネルギー保存の方程式(energy conservation equation)は∂Ｅ/∂ｔ＋∇Ｆ＝ρεで与えられます。
そこで,Ｌ(ｒ)を半径ｒの球面(spherical surface)を単位時間(per unit time)に横切るエネルギーの総量とすると,Ｌ(ｒ)＝4πｒ2Ｆrですから,ｄＬ/ｄｒ＝4πｄ(ｒ2Ｆr)/ｄｒ＝4πｒ2∇Ｆ＝4πｒ2(－∂Ｅ/∂ｔ＋ρε)ですが,平衡状態では∂Ｅ/∂ｔ＝0 ですからｄＬ(ｒ)/ｄｒ＝4πｒ2ρεとなります。
一方,Ｌ(ｒ)＝4πｒ2Ｆrにおいて,一般にＦ＝－λ∇ＴによってＦr＝－λ(ｄＴ/ｄｒ)ですから,ｄＴ/ｄｒ＝－(1/λ){Ｌ(ｒ)/(4πｒ2)}を得ますが,輻射平衡の場合は熱拡散係数(diffusion coefficient of heat)λはａをシュテファン・ボルツマンの法則(Stefan-Boltzmann's law)Ｅ＝ａＴ4における係数(coefficient)とし,ｃを光速(light speed),κを吸収係数(absorption constant)とすれば,λ＝4ａｃＴ3/(3κρ)なる式で与えられます。
ここで,理論的にλ＝4ａｃＴ3/(3κρ)なる式が成立することを証明しておきます。
Ｉを光の強度(stregth of light:単位時間当たりに単位面積を通過する単位立体角当たり(per unit solid angle)の光のエネルギー)とするとエネルギー流束はＦ＝∫ＩcosθｄΩ＝πＩで与えられます。そして,熱平衡(thermal equilibrium)で完全黒体(perfect black body)のときにはＩ＝Ｊ≡ａｃＴ4/(4π)です。
光の強度Ｉとエネルギーの流束Ｆの違いは,あらゆる方向から直進してきた強度Ｉの光がその断面積(cross section)をあらゆる方向に通過するのに対して,流束Ｆはその断面に垂直な成分(normal component)のみを総和したという意味になっているということです。
振動数(frequency)がνの光の流束と光の強度をＦν,ＩνとするとＦ＝∫Ｆνｄν,Ｉ＝∫Ｉνｄνです。それに対応して平衡状態での理想的な(ideal)黒体輻射の法則(law of black-body radiation)をＪ＝∫Ｊνｄνと書いておきます。
ある物質の距離ｄｓを通過する間に,Ｉνが物質によってανＩνだけ吸収(absorb)され,物質からｊνの光放出(emission)を受け,さらに全体として散乱(scattering)の寄与(contribution)を受けるとすれば,ｄＩν/ｄｓ＝－ανＩν＋ｊν－ανSC(Ｉν－Ｊν)＝－(αν＋ανSC) (Ｉν－Ｓν)となります。ここにανSCは散乱係数(scattering constant)でＳν≡(ｊν＋ανSCＪν)/(αν＋ανSC)です。
ここで,簡単のために物質の温度や吸収係数がｚ方向のみに変化するとして考察することにすれば,対称性(symmetry)によって光の強度もｚとその方向となす角度(angle)θのみに依存します。θ方向への光の流れを考えるとｄｓ＝ｄｚ/cosθより,cosθ{∂Ｉν(ｚ,θ)/∂ｚ}＝－(αν＋ανSC)(Ｉν－Ｓν),あるいはＩν(ｚ,θ)＝Ｓν－cosθ(∂Ｉν/∂ｚ)/(αν＋ανSC)です。
星の内部では局所的に熱平衡(local equilibrium)にある,とみなせるので,第ゼロ次の近似(approximation)としてＩν(0)(ｚ,θ)＝Ｓν(0) ＝Ｊν(Ｔ)と取ります。そして第１次の近似を行なえばＩν(1)(ｚ,θ)＝Ｊν(Ｔ)－cosθ{Ｊν(Ｔ)/∂ｚ}/(αν＋ανSC)となります。
そこでエネルギーの流束として正味の値(net value),つまり向きが反対(opposite direction)の光も考慮してθを 0 ～ πの範囲にとると,Ｆν(ｚ)＝∫Ｉν(1)cosθｄΩ＝2π∫-11Ｉν(1)cosθｄ(cosθ)＝－[4π/{3(αν＋ανSC)}]{∂Ｊν(Ｔ)/∂ｚ}が得られます。
∂Jν(Ｔ)/∂ｚ＝{∂Ｊν(Ｔ)/∂Ｔ}(ｄＴ/ｄｚ)ですから,Ｆ(ｚ)＝∫Ｆν(ｚ)ｄν＝(－4π/3)(ｄＴ/ｄｚ)∫(∂Ｊν/∂Ｔ)/{ρ(κν＋κνSC)}ｄνとなります。ここで,αν＝ρκν,ανSC＝ρκνSCとしました。
さらに,∫(∂Jν/∂Ｔ)ｄν＝(∂/∂Ｔ)(∫Ｊνｄν)＝(∂/∂Ｔ){ａｃＴ4/(4π)}＝ａｃＴ3/πを使用し,ロースランド平均(Rossland mean)1/κ≡[∫(∂Ｊν/∂Ｔ)/(κν＋κνSC)ｄν]/[∫(∂Ｊν/∂Ｔ)ｄν]による吸収係数κを定義すると,Ｆ(ｚ)＝－{4ａｃＴ3/(3κρ)}(ｄＴ/ｄｚ)が得られます。
そして,１次元ｚから球対称ｒに移行すればＬ(ｒ)＝4πｒ2Ｆrで,Ｆr＝－{4ａｃＴ3/(3κρ)}(ｄＴ/ｄｒ)となるわけです。以上で証明は完了しました。
こうした吸収,散乱のほかに熱伝導(conduction of heat)によるエネルギーの減衰(damping)も考えると物質の吸収のκをκrad,熱伝導率をκcondとして1/κ＝1/κrad＋1/κcond とする必要があります。
とりあえず,今日はここまでにします。
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(ニフティ「物理フォーラム」サブマネージャー）
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