普通のニュートン力学(Newtonian mechanics)で質量(mass)ｍの物体が速度(velocity)ｖで運動しているときの運動エネルギー(kinetic energy)Ｔが何故Ｔ＝ (1/2)ｍｖ2なのか？とか,いわゆる力学的エネルギー保存の法則(conservation law of mechanical energy),すなわち,"(運動エネルギー＋位置エネルギー(potential energy))は摩擦(friction or viscosity)などの位置だけでなく速度にも依存する散逸エネルギー(dissipation energy)(熱などに転化するエネルギー:energy converted to heat etc.)がないなら常に時間的に一定(constant in time)である。"のは何故かなどの問題を高校生向けに説明してみます。
まず,この運動エネルギーというのは何か？というと,それはこの物体を止めるすなわち速度を 0 にするにはどれくらいの"仕事(work)＝力(force)×距離(distance)"が必要なのか,というのがその意味ですね。
質量ｍの物体が最初は速度ｖで走っていて,加速度(acceleration)ａで加速されながら距離ｓを走った後の速度をｖ'としたらｖ'とｖの関係(relation)はｓを使ってどのように表わされるでしょうか？
結果から書くとｖ'2－ｖ2＝２ａｓとなります。(これはｓ＝(1/2)ａｔ2＋ｖｔ,ｖ'＝ｖ＋ａtですがこの２つめの式から,t＝(ｖ'－ｖ)/ａとなるので,１つめの式に代入すれば出てきます。）
この式の両辺に(1/2)ｍを掛けてみると,(1/2)ｍｖ'2－(1/2)ｍｖ2＝ｍａｓとなりますが,運動方程式(equation of motion)からｍａ＝Ｆなので右辺はＦ×ｓ,つまりこの物体に加えられた仕事になります。
左辺は実はｓだけ力を受けながら走ったときのこの物体の持つ運動エネルギーというものの増加分になっています。つまり得られた式は(運動エネルギーの増加分)＝(加えられた(もらった)仕事)という式になっています。
またｖ'＝0 と置けば止めるのに必要な仕事は－ｍａｓ＝(1/2)ｍｖ2となりますから,最初に述べたように速度の向きとは逆向きの加速度ａ＜ 0（－ｍａｓ＞0 )でどのくらいの仕事をすれば止められるか,という意味になっています。
あとは,物体にこの仕事ｍａｓを加えることが位置エネルギーというものの減少(decrease of potential)を表わす,ことが言えれば力学的エネルギーの保存法則も得られます。
つまり,速度ｖであったときの位置での位置エネルギーをＵ,速度がv'になったｓだけ走った位置での位置エネルギーをＵ'と書いたとき,ｍａｓ＝Ｆ×ｓ＝Ｕ－Ｕ'となるように,位置が仕事をしたために位置エネルギーがＵからＵ'に減ってしまうように位置エネルギーを定義すればいいと思います。
そうすると結局(1/2)ｍｖ'2－(1/2)ｍｖ2＝Ｕ－Ｕ'となるので,移項すると,(1/2)ｍｖ'2＋Ｕ'＝(1/2)ｍｖ2＋Ｕとなります。
これは運動の最初と最後で(運動エネルギー＋位置エネルギー)が変化しない。つまり,"力学的エネルギーが保存される"ことを述べています。
ところで位置エネルギーというものですがこれは,例えば地上から高さｈのところでは重力(gravitation)の加速度をｇとすると,この位置エネルギーはｍｇｈなどという値で表わせばいいことがわかります。
物が落下するとき,物が受ける力は下向きにＦ加速度は下向きにｇなのでＦ＝ｍｇですから,下向きにｓだけ落下したとき物がもらう仕事はＦ×ｓ＝ｍｇｓであり,これだけの量だけ下向き速さが増加して運動エネルギーが増加することになり,そしてｓだけ落下したとき確かに位置エネルギーはｍｇｓだけ減少しています。
このように物体に加えた仕事だけ引き算されるように決められているのが位置エネルギーです。高校の教科書などでは逆に物をスピード(speed)をつけずにゆっくりと,なぜならスピードがあると運動エネルギーも関係してくるからです。）持ち上げるのに必要な手のする仕事が重力の位置エネルギーである,と書いてあるものが多いですが,よく考えると,同じだけ落下したときに,重力がした仕事だけ減るものを重力の位置エネルギーと定義しても同じですね。
ゆっくり持ち上げるときには手が失うエネルギー(仕事)が位置エネルギーの増加になりますが,落下するときにはもちろん位置エネルギーの減少は運動エネルギーの増加になります。(力学的エネルギーかどうかは別にして,とにかくどちらでも全エネルギーは保存されます。）
また,バネなどはもとの状態より伸びたり,ちぢんだりした状態のほうが位置エネルギーが大きいと決めます。そうすると,例えばバネの先に物をつけておくと伸びていたものが手をはなしてちぢみはじめると同時に位置エネルギーは減少をはじめ,運動エネルギーがつくられて増加します。
こうして運動エネルギーの増加が位置エネルギーの減少,運動エネルギーの減少が位置エネルギーの増加というようになっていれば,ともかく、それらの和である力学的エネルギーは保存されます。
ちなみにニュートン力学ではなくて特殊相対性理論(theory of special relativity)の力学では物体のエネルギーはＥ＝ｍｃ2/{1－(ｖ/ｃ)2}1/2(力を受けず自由に運動しているとき)ですが,速度がなくて静止しているときｖ＝0 でも,Ｅは 0ではなくて,Ｅ＝ｍｃ2となります。したがって運動エネルギーはＴ＝[ｍｃ2/{1－(ｖ/ｃ)2}1/2]ーｍｃ2となります。
ニュートン力学でｐ＝ｍｖと書くと運動方程式は実はｍａ＝Ｆではなく本当はｍも含めた加速度でｄｐ/ｄｔ＝Ｆとなりますが,相対論力学でもｐ＝ｍｖ/{1－(ｖ/ｃ)2}1/2と書くと運動方程式は同じようにｄｐ/ｄｔ＝Ｆと書けます。
そこでＭ＝ｍ/{1－(ｖ/ｃ)2}1/2と置けばｐ＝Ｍｖと書くことができてニュートン力学でのｐ＝ｍｖの形と同じになるのでよく速度が光速ｃに近づくと慣性質量(inertial mass)が ∞ になる,などという昔からの誤まった解釈があります。
しかし,これは便宜上ニュートン力学と同じ扱いができるように見えるようにした相対論的質量(relativistic mass)などという質量もどきの Ｍ が∞ になるというわけで,そもそも特殊相対性理論とニュートンの理論とは異なるものですから,本来の質量であるいわゆる静止質量(rest mass)ｍが増えるわけではないので,運動エネルギーＴ＝[ｍｃ2/{1－(ｖ/ｃ)2}1/2]ーｍｃ2が増えて∞ になると解釈すべきですね。
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