こんにちは。つれかなです。
天才少年少女エピソードとして、数字遊びが取り上げられているのを読んだことはあるでしょうか？その1つに、自動車のナンバープレートの数字を四則演算などで10をつくるというものはどこかで聞いたことあると思います。
しかし、やってみると意外と苦戦するもので、僕は難易度を下げたものにハマっていました。それが、タイトルにもある｢4つの数字の四則演算で一の位を0にする｣という遊びです。
意外とサクサク0が作れるので、ある疑問が生まれました。3桁や2桁では0が作れないことも多々ありますが、4桁では全て作れるのです。
では、本当に4桁から全ての組み合わせで0が作れるのでしょうか？
【0がギリギリ作れるのは何桁までか？】
というざっくりとした命題ですが、解いてみようと思います。
まず、ルールを軽く説明します。
・四則演算と括弧のみ有効(根号や累乗などは使わない)
・数字は並べ替えても良い(1456などは、6541と考えて良い)
桁数で表示していますが、実際のところは数字の組み合わせのみ考えます。
説明も長くなったので、そろそろ証明します。
まず、名前を定義します。
定義(1.1)
・考える何桁かの数字を集合と呼ぶ
・集合の表記は普通の数字の表記(2134など)か、{1、2、3}の表記のうち、見やすい方を採用する
集合は本来の数学的な意味とはちょっとだけズレますが、この記事ではこのように呼ぶことにします。表記については基本は普通の数字の表記で書きますが、文字などを使うと見づらい所も出てくるので、後者の表記も採用します。
定義(2.2)
・集合に0が含まれている場合や、同じ数字が2つ以上含まれている場合は自明の解と呼ぶ
例えば、210などは、全て掛け合わせると0が出てきますね。このように0が含まれているものは簡単です。同じ理由で、同じ数字が含まれている場合は簡単に0を作れるので、この2つは自明の解と呼ぶことにします。
補題(3.1)
・3桁以上である時、5が含まれている場合、四則演算をすると必ず0を作れる
3桁の場合を例としてかんがえます。5×(偶数)で10の倍数を作れるため、532や、567などの、偶数が含まれている集合は、全ての数字を掛け合わせることで0が作れます。しかし、全て奇数の集合であれば、集合を{5、x、y}とすると、x-yが偶数であるため、5×(x-y)とすることで0が作れます。4桁以上では、まず3桁で考え、0を作ってから全て掛け合わせると0が出来ますね。
補題(4.2)
・5桁以上の集合は必ず0を作れる
いきなり核心に迫るような補題ですが、1つずつ手順を書きます。
まず、補題(3.1)と定義より、3桁以上の集合では0と5が含まれている場合は必ず0が作れます。なので、0と5以外で集合を考えます。
1と9や、2と8のように、足して10になる数同士は同じ集合に含まれていると、その数字で10を作ってから残りの数字を掛け合わせることで0を作ることが出来ます。なので、0を作らないようにするには、(1.9)(2.8)(3.7)(4.6)から1つずつ10を作らないように数字を選ぶ必要があるが、5つ数字を選ばないといけないので鳩の巣原理より、必ず10を作る組み合わせができるため、5桁以上の集合は必ず0を作ります。
5桁以上では必ず0を作ることができて、3桁では作れない集合(例えば、126など)が存在します。
なので、4桁の集合が境界になってることは間違い無さそうですが、記事が長くなってきたので続きは次の記事に書きます。
ここまで読んで頂きありがとうございます。