今、正Ｎ角形があります。これにおける次の式はどういう意味がありますか。また正を取り除いて、ただのＮ角形においても成り立ちますか。
①３６０
②Ｎ
③（Ｎ－３）×Ｎ÷２
④（Ｎ－２）×１８０÷Ｎまたは１８０－３６０÷Ｎ
解説
正がつかないＮ角形でも成り立つ場合は「〇」、成り立たない場合は「×」とします。
①これは外角の和で、〇です。
②これは対称軸の数で×，または辺の数で〇，または頂点の数で〇です。
③これは対角線の数で〇です。
④これは１つの内角で×です。
③と④は公式として覚えると忘れてしまいます。何回この分野をやっても忘れてしまっている人もいます。こういう時は式の導き方で理解して覚えると忘れにくいものです。③に関しては１つの頂点から引ける対角線の数は自分自身と両隣の頂点から引ける線分を除く（Ｎ－３）本です。そういう頂点がＮ個あり、同じ線分を両端から数えていますので２で割ります。④の前半はＮ角形の内角の和をＮで割って求めています。Ｎ角形の内角の和を求めるとき、Ｎ角形は（Ｎ－２）個の三角形に分けることができます。四角形なら２個というわけです。三角形の内角の和は１８０度ですから、（Ｎ－２）×１８０のように求まります。正Ｎ角形の１つの内角はこれをＮで割って求めます。また後半の式では正Ｎ角形の１つの外角が３６０÷Ｎで求まりますので、それを１８０度から引いて求めます。後半の求め方の方が簡単に思いますが、実際の中学受験生は前半の式を使うようです。なぜならＮ角形の内角の和を求める問題が必ず出題され、それに続いて正Ｎ角形の１つの内角を求める問題へと続いている場合が多いので、単にＮで割ればよいからです。
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