だいたいの企業が提出を要求する書類は年金手帳と源泉徴収票と雇用保険書です。フルタイムで働いておけば、それらの書類から正社員であったかどうかは分かりません。
ただ、企業によっては離職票を出せという企業があったりします。離職票は雇用保険の手続きに使う物なので
「雇用形態」
「退職が自己退職か解雇か」
など情報が満載です。離職票は企業が入社した人間の手続きをする上では必然的は全くない書類なので提出を求められても拒否することができますが、拒否したらしたで何か後ろめたいことがあるのではと疑われます。
というか、離職票を要求してくる企業は人を信用していない企業と考えてもいいかもしれません。
追伸
実は離職票は退職者と企業が面談をして退職について双方が間違いないか確認する書類です。しかし、面談を行わずに企業に都合のよいことを書いて送付している（解雇なのに自己都合にしたり、雇用継続を希望していたのに希望していなかったとするなど）のが現状のようです。
次に仕事が決まっていればいいのですが決まっていなければ雇用保険を貰う上で不利になります。もし、不利な記入があれば労働基準局へ行きましょう。