数列｛an｝の初項a1から第n項までの和をSnと表す
この数列が
a1=1, lim[n→∞]Sn=1, n(n-2)a[n+1]=Sn (n≧1)
を満たすとき 一般項anを求めてみよ
さもなくば お前の大切な人の命はない
さあ どうする？ヾ(▼一▼)
数学は大嫌いだ(→o←)ゞ
だけど リリーのためなら・・・
待っていてくれ
この問題を解いて今すぐ助けにいくから
リリーは俺が守る！
いきなりanを求めるのは困難だな(?_?)
よし まずはSnから求めてみよう
Snだけの式にしてしまえばいいのだろう
ここで魔法の呪文を使う
a[n+1]=S[n+1]-Sn
こいつを代入しよう
n(n-2)a[n+1]=Sn
n(n-2)(S[n+1]-Sn)=Sn
そんでもって整理する ※a'はaの２乗を表す
n(n-2)S[n+1]-n(n-2)Sn=Sn
n(n-2)S[n+1]=n'Sn-2nSn+Sn
n(n-2)S[n+1]=(n-1)'Sn
n/(n-1)Sn[n+1]=(n-1)/(n-2) Sn
やったー≧(´▽｀)≦
Snについての漸化式になったぞ
おっとここで注意(*_*)
nが1や2だと 分母が0になっちゃうからダメ
ってことはn≧3のとき成り立つんだな
さて じゃあこの漸化式を解いていこう
n/(n-1)Sn[n+1]=(n-1)/(n-2) Sn
(n-1)/(n-2) Sn=(n-2)/(n-3) S[n-1]
=(n-3)/(n-4) S[n-2]
=(n-4)/(n-5) S[n-3]
・
※ずーっと下げていく ・
・
=3/2 S4
=2/1 S3
ということは こうなるのか
Sn=2(n-2)/(n-1) S3 ・・・【大切】
分母・分子それぞれnで割る
Sn=2 (1-2/n)/(1-1/n) S3
n→∞のとき 2/nも1/nも0に近づくね
ってことは分子も分母も1に近づくじゃないか
ってことはつまり Snは2 S3に近づくんだ
そういえば
lim[n→∞]Sn=1
だから S3=1/2 になるんだ！
これを【大切】に代入して
Sn=(n-2)/(n-1) :*:・(￣∀￣)・:*:
・・・まだ安心するのは早かった
求めるのはanだったっけ(-_-;)
さて 最初と同じ魔法の変形を使おう
an=Sn-S[n-1]
ところで ここではS3がトップバッターになるから
n≧4のとき成り立つね
Snを当てはめるよ
an=(n-2)/(n-1) - (n-3)/(n-2)
=(n'-4n+4-n'+4n-3) / (n-1)(n-2)
=1/(n-1)(n-2) ・・・【重要】
anが分かったぜ(￣▽+￣*)
そんで問題文から
a1=1
1*(-1)a2=a1 より a2=-1
S3は1/2だったから
1-1+a3=1/2 で a3=1/2
ということで 【重要】は n≧3のとき成り立つ
答え a1=1, a2=-1
n≧3のとき an=1/(n-1)(n-2)
さあ これでどうだ！ ( ・д・)/－－＝≡(((卍
フフフ 今日はこれぐらいで勘弁してやろう
だが まだお前の大切な人は我が手中だ
無事に返してほしければ
これからも我が輩の出す問題に答え続けるがよい
果たして耐えられるかな・・・