⑬ 『 センター試験で20点満点 』
○ 赤玉 ３個 ● ● ●
青玉 ３個 ● ● ●
緑玉 ３個 ● ● ●
全部で ９個の玉がある。この中から ３個取り出して、横一列に並べるとき、
次の問いに答えよ。
次の[ ] に適切な語句や式などを入れてください。
(１) 全部で何通りの並べ方があるか。
１つの解答
左側から１番目は、[３]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から[２]番目も、[３]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から３番目も、[３]通りの玉が使えるから、
[ ３ × ３ × ３ ] より、 ２７通り。
(２) 赤玉が少なくとも２個ある並べ方は、何通りあるか。
１つの解答
赤玉が２個あるときの並べ方は、
[ 赤 赤 青 ] , [ 赤 青 赤 ] , [ 青 赤 赤 ] ,
[ 赤 赤 緑 ] , [ 赤 緑 赤 ] , [ 緑 赤 赤 ] の６通り。
赤玉が３個あるときの並べ方は、
[ 赤 赤 赤 ] の１通り。
よって、 ６ ＋ １ より、 ７通り。
(３) 連続して同じ色の玉を並べないとき、
ⅰ) このような並べ方は、全部で何通りあるか。
１つの解答
左側から１番目は、[３]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から[２]番目は、[２]通りの玉しか使えず、
その各々の場合について、左側から３番目は、[２]通りの玉しか使えないから、
[ ３ × ２ × ２ ] より、 １２通り。
ⅱ) 左右対称となる並べ方は、何通りあるか。
１つの解答
左側から１番目は、[３]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から[２]番目は、[２]通りの玉しか使えず、
その各々の場合について、左側から３番目は、[１]通りの玉しか使えないから、
[ ３ × ２ × １ ] より、 ６通り。
ⅲ) 赤玉が少なくとも１個ある並べ方は、何通りあるか。
１つの解答
赤玉が０個の場合の並べ方は、[ 青 緑 青 ] , [ 緑 青 緑 ] の２通り。
(３) の条件下での すべての並べ方 １２通り は、
赤玉が [０]個 か [１]個 か [２]個含まれる３つの場合に 場合分け できる。
また、
赤玉が少なくとも１個ある とは、赤玉が１個あるとき と 赤玉が２個あるとき である。
よって、 赤玉が少なくとも１個ある並べ方は、 [ １２ － ２ ] より、 １０通り。
○ 赤玉 は、少なくとも３個 ● ● ● ・ ・ ・ ・ ・ 、
青玉は、少なくとも ３個 ● ● ● ・ ・ ・ ・ ・ 、
緑玉は、少なくとも ３個 ● ● ● ・ ・ ・ ・ ・ と 全部で 少なくとも９個の玉がある。
この中から ５個取り出して、横一列に並べる。
ただし、連続して同じ色の玉は、並べないものとする。
次の問いに答えよ。
[１] このような並べ方は、全部で何通りあるか。 ( 答え ４８通り ) ３点
[２] 青玉 と 緑玉しか使わないときの並べ方は、何通りあるか。 ( 答え ２通り ) ３点
[３] 左右対称となる並べ方は、何通りあるか。 ( 答え １２通り ) ２点
[４] 赤玉を３個使った並べ方は、何通りあるか。 ( 答え ４通り ) ３点
[５] 赤玉を１個使う場合
ⅰ) 左右どちらかの端が赤玉である並べ方は、何通りあるか。 ( 答え ４通り ) ２点
ⅱ) 両端以外が赤玉である並べ方は、何通りあるか。 ( 答え １２通り ) ２点
ⅲ) 赤玉を１個使った並べ方は、何通りあるか。 ( 答え １６通り ) ２点
[６] 赤玉を２個使った並べ方は、何通りあるか。 ( 答え ２６通り ) ３点
この問題は、今年の大学入試センター試験 数学Ⅰ・数学Ａ の 第４問 (２０点満点) と 同程度の問題 です。
「 テーマ ： 確率 」 の ① ～ ⑫ の 経験 により、
この問題に対応し、満点とれたでしょうか。
場合の数 や 順列 や 組合せ の入試問題は、
「Ｐ」 や 「Ｃ」の公式のための問題ではなく、
一般に 「 受験者間に差を生じさせ、選抜する 」 ための問題です。
( 公式を覚えるための問題でなく、必要に応じて適切に公式を使う問題です。)
問題の解き方
「 すべて書き出してみる。」、
「 いくつか書き出してみる。」、
「 場合分けしてみる。」、
「 計算してみる。」 などは、
いずれにしても、規則性 や 対称性 を意識しながら、あるいは 意識して 行うこと が重要です。
○ 赤玉 は、少なくとも３個 ● ● ● ・ ・ ・ ・ ・ 、
青玉は、少なくとも ３個 ● ● ● ・ ・ ・ ・ ・ 、
緑玉は、少なくとも ３個 ● ● ● ・ ・ ・ ・ ・ と 全部で 少なくとも９個の玉がある。
この中から ５個取り出して、横一列に並べる。
ただし、連続して同じ色の玉は、並べないものとする。
次の問いに答えよ。
次の[ ] に適切な語句や式などを入れてください。
[１] このような並べ方は、全部で何通りあるか。
左側から１番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から２番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から３番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から４番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から５番目は、[ ]通りの玉が使える。
よって、 [ ] より、 ４８通り。
[２] 青玉 と 緑玉しか使わないときの並べ方は、何通りあるか。
左側から１番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から２番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から３番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から４番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から５番目は、[ ]通りの玉が使える。
よって、 [ ] より、 ２通り。
[３] 左右対称となる並べ方は、何通りあるか。
左側から１番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から２番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から３番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から４番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から５番目は、[ ]通りの玉が使える。
よって、 [ ] より、 １２通り。
[４] 赤玉を３個使った並べ方は、何通りあるか。
連続して同じ色の玉を並べずに、赤玉を３個使って、１列に５個並べるのは、
( 赤 ○ 赤 ○ 赤 ) と並べて、赤玉 と 赤玉の間に青玉 や 緑玉を入れることになる。
よって、左側から２番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、左側から４番目は、[ ]通りの玉が使える。
ゆえに、 [ ] より、 ４通り。
[５] 赤玉を１個使う場合
ⅰ) 左右どちらかの端が赤玉である並べ方は、何通りあるか。
左端に赤玉をおくと、( 赤 ○ ○ ○ ○ ) の赤玉の右４か所に、青玉 と 緑玉をおけばよいから、
赤玉の右隣１番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、右隣２番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、右隣３番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、右隣４番目は、[ ]通りの玉が使える。
よって、[ ] より、２通り。
右端に赤玉をおいた場合、同様に考えて ( 左右は異なるが ) 、
２通り。
ゆえに、 ２ ＋ ２ より、 ４通り。
ⅱ) 両端以外が赤玉である並べ方は、何通りあるか。
左側から２番目が赤玉のとき、
( ○ 赤 ○ ○ ○ ) の ○のところに、青玉と緑玉をおけばよいから、
赤玉の左隣は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、赤玉の右隣１番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、赤玉の右隣２番目は、[ ]通りの玉が使えて、
その各々の場合について、赤玉の右隣３番目は、[ ]通りの玉が使える。
よって、[ ] より、４通り。
左側から３番目が赤玉のとき、同様に考えて ４通り。
左側から４番目が赤玉のとき、同様に考えて ４通り。
ゆえに、４ ＋ ４ ＋ ４ より、 １２通り。
ⅲ) 赤玉を１個使った並べ方は、何通りあるか。
ⅰ) ,ⅱ) から、 ４ ＋ １２ により、 １６通り。
[６] 赤玉を２個使った並べ方は、何通りあるか。
[１] , [２] , [４] , [５] から、[ ] により、 ２６通り。
○ コインを１枚、１回投げる。このとき、裏がでる確率は ？
ただし、表がでる事象 と 裏がでる事象 は、同様に確からしいし、
それ以外の事象 ( 例えば、表や裏にならずコインが立つ ) は起こらないとする。
次の( ) に適切な語句や式などを入れてください。
同様に確からしい すべての事象 を書き出してみると、
[ 表 ] と [ 裏 ] の ( )つとなる。
よって、
裏がでる確率は、 ( ) である。
次回 ⑭ 『 同様に確からしい 』 に続きます。