『 速さの公式は使えるように １５ 』
【 斜め投げ上げ運動 】
○ 次の [ ] に適切な語句・式などを入れてください。
水平方向 ( 地面 ： y ＝ 0 ) からの角度がθである斜め上方へ初速度 v₀ で ある物体を投げると、
水平方向の初速度は、 v₀ cosθ
鉛直方向の初速度は、 v₀ sinθ ( 高校数学の三角比 )
投げてからの経過時間を t とすると、
水平方向には力が働いていない から 加速度はなし、 [ ∵ 力 ＝ 質量 × 加速度 ]
よって、等速直線運動だから、
速度 と 時間の関係式はなく、 Vx ＝ [ v₀ cosθ] と 速度は一定
変位 と 時間の関係式は、 x ＝ ( [ v₀ cosθ] ) ・ t ・・・ ①
鉛直方向には重力のみが働いているから 等加速度直線運動になるので、
重力加速度を ｇ とすると、
速度 と 時間の関係式は、 Vy ＝ － ｇ t ＋ [ v₀ sinθ] ・・・ ②
変位 と 時間の関係式は、 y ＝ ( [ v₀ sinθ] ) ・ t － (1/2) ｇ t² ・・・ ③
速度 と 変位の関係式は、 Vy ² － ( [ v₀ sinθ] )² ＝ － 2 ｇ y ・・・ ④
重力以外の力が働かない状況で、最も遠くにとどくように投げたとき、
θの値 と その地点までの距離を求める。
投げてから地面 ( y ＝ 0 ) につくまでの時間を求める。
y ＝ 0 を ③ に代入して、t を求める
0 ＝ ( v₀ sinθ)・t － (1/2) ｇ t²
( v₀ sinθ)・t － (1/2) ｇ t² ＝ [ 0 ] ( t の２次方程式 )
[ t { v₀ sinθ － (1/2) ｇ t } ] ＝ 0 ( 因数分解で解く )
t ＝ [ 0 ] , [ (2 v₀ sinθ) / ｇ ]
t ＞ 0 だから、
投げてから、地面につくまでの時間は t ＝ [ (2 v₀ sinθ) / ｇ ] である。
これを ① に代入すると、
x ＝ v₀ cosθ・ { [ (2 v₀ sinθ) / ｇ ] }
＝ ( 2 v₀² sinθcosθ) / ｇ
＝ ( v₀² sin 2θ) / ｇ ( 三角関数の２倍角 )
最も遠くにとどく とは、x が最大値をとること。
x が最大値をとる とは、sin 2θが最大値をとること。
sin 2θは、x y 座標平面における単位円 ( 中心が原点で 半径が 1 ) の [ y 座標 } だから、( 三角関数 )
－1 ≦ sin 2θ≦ 1
よって、2θ＝ 90°のとき、sin 2θは最大値 1 をとる。
以上より、θ＝ [ 45°] のとき、
投げた地点から最も遠い x ＝ [ v₀² / ｇ ] のところにとどく。
次に、最高点の位置 と そのときの t の値を求める。
１つの解き方
y ＝ ( v₀ sinθ) ・ t － (1/2) ｇ t² ・・・ ③ は、
高さ(変位) y と 時間 t の関係式で、
y が t の２次関数であることを表している。
よって、
この t の２次式の最大値が最高点の位置を表し、
このときの t の値が求めるべき値である。
t の２次式を 完全平方式 に変形すればよい。 ( 高校数学 ： ２次関数 )
y ＝ ( v₀ sinθ) ・ t － (1/2) ｇ t²
y ＝ － (1/2) ｇ t² ＋ ( v₀ sinθ) ・ t
２次と１次の２項式を [ ２次の係数 ] でくくる
y ＝ － (1/2) ｇ [ t² － { ( 2 v₀ sinθ)/ｇ } ・ t ]
[ １次の係数の半分の２乗 ] をたしてひく
y ＝ － (1/2) ｇ [ t² － { ( 2 v₀ sinθ)/ｇ } ・ t ＋ { －( v₀ sinθ)/ｇ }² － { －( v₀ sinθ)/ｇ }² ]
２乗、積の２倍、２乗の３項式は [ ２項式の２乗 ] に
y ＝ － (1/2) ｇ { t － ( v₀ sinθ)/ｇ } ² ＋ ( v₀ sinθ)²/2 ｇ
t y 座標平面における この２次関数のグラフについて
・ 向き ： 上に凸
・ 軸 ： t ＝ ( v₀ sinθ)/ｇ
・ 頂点 ： ( ( v₀ sinθ)/ｇ , ( v₀ sinθ)²/2 ｇ )
・ t 軸 ( y ＝ 0 ) との交点の座標 ( 0 , 0 ) , ( (2 v₀ sinθ)/ｇ , 0 )
・ y 軸 ( t ＝ 0 ) との交点の座標 ( 0 , 0 )
ゆえに、
t ＝ [ ( v₀ sinθ) / ｇ ] のとき、最大値 y ＝ [ ( v₀ sinθ)² / 2 ｇ ] をとる。
別の解き方
最高点では鉛直方向の速度が [ 0 ] になる。
鉛直方向の 速度 と 時間の関係式は、
Vy ＝ － ｇ t ＋ v₀ sinθ
これに Vy ＝ [ 0 ] を代入して計算すると、
t ＝ [ ( v₀ sinθ) / ｇ ] これが、最高点の位置にあるときの t の値である。
鉛直方向の 速度 と 変位の関係式は、
Vy ² － ( v₀ sinθ)² ＝ －2 ｇ y
これに Vy ＝ [ 0 ] を代入して計算すると、
y ＝ [ ( v₀² sin²θ) / 2 ｇ ] これが、最高点の位置である。
【 かけ算で出るものの把握から 】
○ かけ算で出るものは、分子にくる。( 同形関係 )
距離 x ＝ v t ( 距離は 速さ と 時間のかけ算で出る ) 小学算数
質量 ｍ ＝ ρV ( 質量は 密度 と 体積のかけ算で出る ) 中学理科
密度がρの液体 から ある物体が受ける浮力は、
それが押しのけた液体の体積を V とするとき、
押しのけられた分の液体が受ける重力ρV ｇ と等しい。
電圧 E ＝ R I ( 電圧は 電気抵抗 と 電流のかけ算で出る ) 中学理科
小中で扱う量は、ほぼ スカラー である。力は ベクトル。
○ 自然界には比例関係で定義されるものが、とても多い。( かけ算で出るものは多い )
速度 v ＝ a t [ m/s ＝ m/s² ・ s ]
力 ｍ a ＝ F [ kｇ ・ m/s² ＝ N ] 運動方程式 ( ベクトル の関係式 )
質量 ｍ の物体が、力 F (すべての合力) を受けていると、地面に対して加速度 a で加速しつづける。
仕事 W ＝ F cosθ ・ s [ J ＝ N ・ m ]
右方向に直線で s 移動する間、物体が受けている力を F とする。
力 F の向きを、右方向となす角が反時計回りにθである方向とする。
このとき、
力 F がした仕事は W ＝ F s cosθ である。
θ＝ 0°のとき、 W ＝ F s
0°≦θ＜ 90°のとき、 W ＞ 0
θ＝ 90°のとき、 W ＝ 0
90°＜θ≦180°のとき、 W ＜ 0
θ＝180°のとき、 W ＝ － F s
cosθは、x y 座標平面における単位円 ( 中心が原点で 半径が 1 ) の x 座標 だから、( 三角関数 )
0°≦θ≦180°のとき、－1 ≦ cosθ≦ 1
力積 I ＝ F t [ N ・ s ]
運動エネルギー (1/2) ｍ v ² [ kｇ ・ (m/s)² ]
位置エネルギー ｍ ｇ h [ kｇ ・ m/s² ・ m ] 重力 ｍ ｇ によるもの
弾性エネルギー (1/2) k x ² [ N/m ・ m² ] ばねの弾性力 k x によるもの
F ＝ k x は 比例の式 だから、
これを、x F 座標平面の第１象限のみでの 原点を通る直線 とすると、
この直線 と x 軸 と 直線上の点 ( x , kx ) から x 軸への垂線 とで
囲まれた三角形の面積が、自然長からの伸び(縮み) x のときの
ばねの弾性エネルギーである。
熱エネルギー(摩擦熱) μN ℓ [ N ・ m ] 動摩擦力 μN によるもの ( 動摩擦係数μ、垂直抗力 N )
運動量 ｍ v [ kｇ ・ m/s ]
○ 単位に注目すると
・ 仕事とエネルギーの単位は同じ
J ＝ N ・ m ＝ ( kｇ ・ m/s² ) ・ m
よって、
質量 ｍ の物体に 仕事 Ｗ [Ｊ] をすると、運動エネルギーが変化し、次のような式が成り立つ。
W ＝ (1/2) ｍ v ² － (1/2) ｍ v₀²
仕事の後 仕事の前
・ 力積と運動量の単位は同じ
N ・ s ＝ ( kｇ ・ m/s² ) ・ s ＝ kｇ ・ m/s
よって、
質量 ｍ の物体に 力 F [N] を t 秒間加え続けると、
運動量は変化し、次のような式が成り立つ。
F t ＝ ｍ v － ｍ v₀ ( ベクトル の関係式 )
後 前
変化を把握するためには、
時間が過ぎてゆくことを知り、前後関係を捉える必要があります。
そして、
変化していないものも必要です。( 同一性 )
この場合、質量 ｍ の物体そのものはほぼ変化していません。
質量 ｍ の物体の 運動エネルギー や 運動量 が変化したのです。
すべてが変化したら、何が変化したのか把握できませんから。
ベクトル ： [ 数学・物理 ] 大きさだけでなく、向きももった量。 (例) 速度 ・ 加速度 ・ 力 ・ 運動量。
スカラー ： [ 数学・物理 ] 大きさだけで、向きなしの量。 (例) 速さ ・ エネルギー。
私たちは、さまざまな教科を勉強して、言語力 把握力 判断力などを習得してもいいのです。
テストで点数をとるため だけでなく、学力を創造・向上させるために勉強してもいい。
使えない速さの公式３つ を覚えるのではなく、
１つのかけ算の式が使えるようになることが、
中高で習うさまざまな公式の理解への一歩となるでしょう。
次回 ①平行移動による一般化 につづきます。