③平行移動による一般化
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ 2 x² は、
原点 ( 0 , 0 ) を頂点とする放物線の式 すなわち ２次関数の式である。
y ＝ 2 x² を 原点を中心に
x 軸方向に － 1
y 軸方向に － 2
それぞれ平行移動させると
[ y ＋ 2 ] ＝ 2 ( [ x ＋ 1 ] ) ²
⇔ y ＝ 2 ( [ x ＋ 1 ] ) ² － 2
これは、
２次の係数が [ 2 ] で、
点 ( [－ 1 , － 2 ] ) を頂点とする放物線の式 すなわち ２次関数の式である。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ － x² は、
原点 ( 0 , 0 ) を頂点とする放物線の式 すなわち ２次関数の式である。
y ＝ － x² を 原点を中心に
x 軸方向に 1
y 軸方向に 1
それぞれ平行移動させると
[ y － 1 ] ＝ － ( [ x － 1 ] ) ²
⇔ y ＝ － ( [ x － 1 ] ) ² ＋ 1
これは、
２次の係数が [ －1 ] で、
点 ( [ 1 , 1 ] ) を頂点とする放物線の式 すなわち ２次関数の式である。
( x 軸 , y 軸 をひき、原点をとり、グラフを描いて確認を。)
【 平行移動は関数で役に立つ 】
・ y ＝ a x ³ ( a ≠ 0 ) を その変曲点( 0 , 0 ) を中心に
x 軸方向に p
y 軸方向に q
それぞれ平行移動すると、
y － q ＝ a ( x － p ) ³
⇔ y ＝ a ( x － p ) ³ ＋ q
これは、
３次の係数が a で、点( p , q ) を変曲点とする３次関数の式である。
ただし、
極大点と極小点を持たない。
なぜなら、１次導関数にもとづく２次方程式が 異なる２つの実数解 をもたないから (重解をもつから) 。
y’＝ 3 a ( x － p ) ² 3 a ( x － p ) ² ＝ 0
( ３次関数のグラフは、変曲点について対称 (点対称)。 変曲点の x 座標は、２次導関数より求められる。)
y”＝ 6 a ( x － p )
( ２次関数の頂点 や ３次関数の極大点・極小点の x 座標 は、１次導関数より求められる。)
導関数は、数Ⅱの「微分法」で習います。
原点 ( 0 , 0 ) を変曲点とし、極大点・極小点をもつ３次関数のグラフは、
必ず x 軸 と ３点 で交わる。
その３点が ( 0 ,－α) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , α) (α＞ 0 ) のとき、
その式は
y ＝ a ( x ＋α) x ( x －α)
＝ a x ( x ² －α²) ( 乗法公式 ： 和と差の積は２乗ひく２乗 )
＝ a x ³ － aα²x ( a ≠ 0 ) である。
ｙ’＝ 3 a x ² － aα² より、
3 a x ² － aα² ＝ 0
x ² － α² / 3 ＝ 0
( x ＋α/√3 )( x －α/√3 ) ＝ 0
変曲点とは、曲線が 右カーブ から 左カーブに ( あるいは その逆に ) 変わる点。
・ 中心( 0 , 0 ) で、半径 r の
円 x ² ＋ y ² ＝ r ² ( ２点 ( 0 , 0 ) と ( x , y ) の距離を r として 三平方の定理 を使うと、導ける )
を 点( 0 , 0 ) を中心に
x 軸方向に a
y 軸方向に b
それぞれ平行移動すると、
( x － a ) ² ＋ ( y － b ) ² ＝ r ²
これは、
中心( a , b ) で、半径 r の 円の方程式 である。
( これも、２点 ( a , b ) と ( x , y ) の距離を r として 三平方の定理 を使うと、求められるが )
【 放物線のグラフを描くために、完全平方式により 頂点の座標を 】
２次関数 y ＝ a ( x － p ) ² ＋ q の形の式は
２次の係数 と 頂点の座標を示している。
この２つの情報により、
x y 座標平面に その放物線のグラフ (概形) を描くことが容易になる。
よって、
２次関数 y ＝ a x² ＋ b x ＋ c のグラフを描くためには、
この式を
y イコール ２次の係数 括弧 x マイナス x 座標 括弧閉じ２乗 プラス y 座標 である
y ＝ a ( x － p ) ² ＋ q の形の式に変形した方がよい。
補講 『 解の公式は導くもの 』 により、
２次方程式の解の公式を導く計算力を身につけていれば、
y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c
y ＝ a { x ² ＋ (b/a) x } ＋ c
y ＝ a { x ² ＋ (b/a) x ＋ (b/2a) ² － (b/2a) ² } ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － b²/4a ＋ c
y ＝ a ( x ＋ b/2a ) ² － ( b²－4ac )/4a
と変形できる。
２次の係数が a であることは既にわかっていますが、
この変形により、
点 ( －b/2a , － ( b²－4ac )/4a ) が頂点であることが理解できます。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ － 2 x² ＋ 8 x － 6 の x の２次式を 完全平方式に変形し、
２次の係数 と 頂点の座標を求める。
y ＝ － 2 x² ＋ 8 x － 6
２次と１次の[ ]項式を [ ]次の[ ] － 2 でくくる
y ＝ － 2 ( x² － 4 x ) － 6
x の[ ]の[ ]の[ ]を たしてひく
y ＝ － 2 ( x² － 4 x ＋ 4 － 4 ) － 6
２乗, 積の２倍, ２乗の[ ]項式を [ ]項式の[ ]乗に
y ＝ － 2 ( x － 2 ) ² ＋ [ ] － 6
y ＝ － 2 ( x － 2 ) ² ＋ [ ]
よって、２次の係数は [ ] で、
頂点の座標は ( [ , ] ) である。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
y ＝ － (1/2) x² － x ＋ 3/2 の x の２次式を 完全平方式に変形し、
２次の係数 と 頂点の座標を求める。
y ＝ － (1/2) x² － x ＋ 3/2
[ ]でくくる
y ＝ － (1/2) { x² ＋ 2 x } ＋ 3/2
[ ] の半分の２乗を たしてひく
y ＝ － (1/2) { x² ＋ 2 x ＋ 1 － 1 } ＋ 3/2
[ ]公式を使って完全平方式に
y ＝ － (1/2) { x ＋ 1 } ² ＋ [ ] ＋ 3/2
y ＝ － (1/2) { x ＋ 1 } ² ＋ [ ]
よって、２次の係数は [ ] で、
頂点の座標は ( [ , ] ) である。
○ y ＝ 2 x² ＋ 3 x － 7/8 の x の２次式を 完全平方式に変形し、
２次の係数 と 頂点の座標を求めなさい。
次回 ④ 頂点の座標 につづきます。