⑩ x 軸のどの部分と
○ 問い Ⅰ を解くための 問い （ⅱ）
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
（ ただし、移動の後の２次関数の式も、常に y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c であるとする。）
先ず、
下に凸 (谷型)で x 軸の負の領域と２点で交わる
２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c について考えると、
a ＞ 0 と b² － 4ac ＞ 0 と －b/2a ＜ 0 と c ＞ 0 である。 これを 状況① とする。
状況① から 放物線を y 軸正の方向にずらしてゆくと、
x 軸との２交点は一致し、放物線は x 軸と [ 接する ] 。 これを 状況②’ とする。
このとき、
a ＞ 0 と [ b² － 4ac ＝ 0 ] と －b/2a ＜ 0 と c ＞ 0 である。
状況②’ から 放物線を y 軸正の方向に少しずらすと、
x 軸との共有点は、なくなる。 これを 状況③’ とする。
このとき、
a ＞ 0 と [ b² － 4ac ＜ 0 ] と －b/2a ＜ 0 と c ＞ 0 である。
また
状況① から 放物線を y 軸負の方向にずらしてゆくと、
x 軸との２交点の右側の点 と y 軸との交点が原点で一致する。
これを 状況④’ とする。
このとき、
a ＞ 0 と [ b² － 4ac ＞ 0 ] と －b/2a ＜ 0 と [ c ＝ 0 ] である。
状況④’ から 放物線を y 軸負の方向に少しずらすと、
x 軸との２交点は、負の領域と正の領域にある。 これを 状況⑤’ とする。
このとき、
a ＞ 0 と [ b² － 4ac ＞ 0 ] と －b/2a ＜ 0 と [ c ＜ 0 ] である。
○ 問いⅠ を解く。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
（１） ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸の正と負の領域 両方と交わるとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、[ ] で
x 軸と２点で交わるから、[ ] である。
軸の値は、[ ]でも 0 でも [ ]でもよい。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[ ]の領域に存在するから、[ ] である。
よって、
[ ] かつ [ ] かつ [ ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、[ ] で
x 軸と２点で交わるから、b² － 4ac ＞ 0 である。
軸の値は、負でも 0 でも 正でもよい。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[ ]の領域に存在するから、[ ] である。
よって、
[ ] かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ [ ] となる。
以上より、
答え （[ かつ かつ ]） または （[ かつ かつ ]）
しかし、
a と c が異符号のとき、a c ＜ 0 であるから、
a c ＜ 0
4 a c ＜ 0
－4 a c ＞ 0 ・ ・ ・ ①
また、実数の２乗は 0 以上になるから、
b² ≧ 0
b² － 4 a c ≧ 0 －4 a c
b² － 4 a c ≧ －4 a c ＞ 0 （ ∵ ①より ）
b² － 4ac ＞ 0
ゆえに、
a と c が異符号のとき、必ず b² － 4ac ＞ 0 となる。
このように考えると、答えは、
（ a ＞ 0 かつ c ＜ 0 ） または （ a ＜ 0 かつ c ＞ 0 ） である。
（ [ ] とまとめることも可 ）
a と c が異符号であることは、b² － 4ac ＞ 0 であるための [ ]条件 ではあるが、[ }条件 ではない。
反例 ： a ＝－1 , b ＝－3 , c ＝－2 のとき
（２） y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c （ a ≠ 0 ） のグラフが、 x 軸の正の領域と２点で交わるとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、 a ＞ 0 で
x 軸と２点で交わるから、[ ] である。
軸の値は、[ ]でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[ ]の領域に存在するから、[ ] である。
よって、
a ＞ 0 かつ [ ] かつ [ ] かつ [ ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、 a ＜ 0 で
x 軸と２点で交わるから、b² － 4ac ＞ 0 である。
軸の値は、正でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[ ]の領域に存在するから、[ ] である。
よって、
a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＞ 0 かつ [ ] となる。
以上より、答えは
（ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＞ 0 かつ c ＞ 0 ）
または （ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＞ 0 かつ c ＜ 0 ） である。
（ a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＞ 0 ） とまとめること可
（３） y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c （ a ≠ 0 ） のグラフが、 x 軸と交わらないとき
答えは b² － 4ac [ ] 0 である。
（４） y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c （ a ≠ 0 ） のグラフが、 x 軸の負の領域と２点で交わるとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、 a ＞ 0 で
x 軸と２点で交わるから、[ ] である。
軸の値は、[ ]でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[ ]の領域に存在するから、[ ] である。
よって、
a ＞ 0 かつ [ ] かつ [ ] かつ [ ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、 a ＜ 0 で
x 軸と２点で交わるから、b² － 4ac ＞ 0 である。
軸の値は、負でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[ ]の領域に存在するから、[ ] である。
よって、
a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ [ ] となる。
以上より、答えは
（ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ c ＞ 0 ）
または （ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ c ＜ 0 ） である。
（ a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＞ 0 かつ －b/2a ＜ 0 ） とまとめること可
（５） ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸の負の領域で接するとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、 a ＞ 0 で
x 軸と１点で接するから、[ ] である。
軸の値は、[ ]でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[ ]の領域に存在するから、[ ] である。
よって、
a ＞ 0 かつ [ ] かつ [ ] かつ [ ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、 a ＜ 0 で
x 軸と１点で接するから、b² － 4ac ＝ 0 である。
軸の値は、負でなければならない。
y 軸との交点は、必ず y 軸の[ ]の領域に存在するから、[ ] である。
よって、
a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ [ ] となる。
以上より、答えは
（ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ c ＞ 0 ）
または （ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＜ 0 かつ c ＜ 0 ） である。
（ a c ＞ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＜ 0 ） とまとめること可
（６） ２次関数 y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c のグラフが、 x 軸と原点で接するとき
・ 向きが 下に凸 谷型 のとき、 a ＞ 0 で
x 軸と１点で接するから、[ ] である。
軸の値は、[ ]でなければならない。
y 軸との交点は、原点だから、[ ] である。
よって、
a ＞ 0 かつ [ ] かつ [ ] かつ [ ] となる。
・ 向きが 上に凸 山型 のとき、 a ＜ 0 で
x 軸と１点で接するから、b² － 4ac ＝ 0 である。
軸の値は、0 でなければならない。
y 軸との交点は、原点だから、 c ＝ 0 である。
よって、
a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＝ 0 かつ c ＝ 0 となる。
以上より、答えは
（ a ＞ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＝ 0 かつ c ＝ 0 ）
または （ a ＜ 0 かつ b² － 4ac ＝ 0 かつ －b/2a ＝ 0 かつ c ＝ 0 ） である。
（ b ＝ c ＝ 0 ） とまとめること可
すなわち、これは、中３の２次関数 y ＝ a x ² （ a ≠ 0 ） である。
（７） y ＝ a x ² ＋ b x ＋ c （ a ≠ 0 ） のグラフが、 x 軸と共有点をもつとき
共有点が２つのとき、b² － 4ac [ ] 0
共有点が１つのとき、b² － 4ac [ ] 0
以上より、答えは b² － 4ac [ ] 0 である。
次回 ⑪ y 軸のどの部分と につづきます。