㉓ より大きく 小さい解 ３
問い (ⅳ)
方程式 x² － 5 x ＋ c ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さいとき、
c の値の範囲を求めよ。
次の [ ] に、適切な語句や式などを入れてください。
( 解答 １ )
x² － 5 x ＋ c ＝ 0 ・ ・ ・ ① とおく
①の[判別式]をＤとすると
Ｄ ＝ (－5) ² － 4・1・c
＝ 25 － 4 c
①は異なる２つの実数解をもつから
25 － 4 c ＞ 0
⇔ 25 ＞ 4 c
⇔ 25/4 ＞ c ・ ・ ・ ②
1 より大きく 2 より小さい解をα ,
3 より大きく 4 より小さい解をβ とすると
1 ＜ α ＜ 2 ・ ・ ・ ③
3 ＜ β ＜ 4 ・ ・ ・ ④
また、[解と係数の関係]より、
α＋β＝ [ 5 ] ・ ・ ・ ⑤
αβ＝ [ c ] ・ ・ ・ ⑥
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③, ④, ⑤, ⑥ より、
αβ座標平面の第１象限で、考える ( ⑤と⑥のグラフを描く )
③と④より、
４点 ( 1 , 4 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) を頂点とする正方形の領域がとれる
( ただし、境界は含まない )
⑤は、傾き [－1 ] , β切片 [ 5 ] , α切片 [ 5 ] の直線で、
領域の２点 ( [ 1 , 4 ] ) , ( [ 2 , 3 ] ) を通る
⑥は、比例定数 [ c ] の反比例の式であり、双曲線を表す
( ただし、α＞ 0 . β＞ 0 である )
⑤は固定しているが、⑥は移動できるので
⑥を β＝α上の点を中心に、それに沿って
右上方から原点の方へ少しずつ移動させてみると
先ず ⑤ と 点( [ 5/2 , 5/2 ] ) で接する
その後 領域にある⑤の点( [ 2 , 3 ] ) を通る
そして 領域にある⑤の点( [ 1 , 4 ] ) を通る
⑥が、原点( 0 , 0 ) に近づけば近づく程
c の値はどんどん[小さくなる]
⑥が、点( 2 , 3 ) を通るとき c ＝ 6
点( 1 , 4 ) を通るとき c ＝ 4
⑤と⑥は交点をもち、
その交点は③, ④による領域になければならないし、
２点 ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) は除かれるから
4 ＜ c ＜ 6
これと ②の 25/4 ＞ c より、
求める c の値の範囲は、4 ＜ c ＜ 6 である。
( 解答 ２ )
( 解答 １ ) の赤線まで同じ
⑤, ⑥ より、αを消去して c とβの関係式をつくる
先ず、βの範囲 (区間) に注意しなければならないので
③, ⑤ より、αを消去する
⑤ より、α＝ 5 －β だから、
1 ＜ α ＜ 2
1 ＜ 5－β ＜ 2
－4 ＜ －β ＜ －3
3 ＜ β ＜ 4 これは④と同じ
⑥ より、
c ＝αβ
＝ β( 5－β)
＝ －β² ＋ 5β ( c はβの２次関数 )
＝ －(β² － 5β)
＝ －(β² － 5β＋ [25/4] － [25/4] )
＝ (β－[5/2]) ² ＋ [25/4]
区間は 3 ＜ β ＜ 4 だから、
値域は [ 4 ＜ c ＜ 6 ]
これと ②の 25/4 ＞ c より、
求める c の値の範囲は、4 ＜ c ＜ 6 である。
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⑤, ⑥ より、βを消去して c とαの関係式をつくってもよい
④, ⑤ より、βを消去すると
1 ＜ α ＜ 2 になる これは③と同じ
⑥ より、
c ＝αβ
＝ －α² ＋ 5α
＝ (α－5/2) ² ＋ 25/4
区間は 1 ＜ α ＜ 2 だから、
値域は 4 ＜ c ＜ 6
これと ②の 25/4 ＞ c より、
求める c の値の範囲は、4 ＜ c ＜ 6 である。
( 解答 ３ )
方程式 x² － 5 x ＋ c ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さい
とは
関数 y ＝ x² － 5 x ＋ c が x 軸と
区間 [ 1 ＜ x ＜ 2 ] , [ 3 ＜ x ＜ 4 ] で交わる
ということである
ｆ (x) ＝ [ x² － 5 x ＋ c ] とおく
y ＝ ｆ (x) のグラフの向きは下に凸だから、
x 軸と 区間 [ 1 ＜ x ＜ 2 ] , [ 3 ＜ x ＜ 4 ] で交わるときの
[端点値]について考えると、
ｆ (1) [＞] 0
ｆ (2) [＜] 0
ｆ (3) [＜] 0
ｆ (4) [＞] 0 となる
よって、
ｆ (1) ＝ c － 4 [＞] 0
ｆ (2) ＝ c － 6 [＜] 0
ｆ (3) ＝ c － 6 [＜] 0
ｆ (4) ＝ c － 4 [＞] 0 より、
求める c の値の範囲は、4 ＜ c ＜ 6 である。
問い (ⅴ)
方程式 x² ＋ b x ＋ 5 ＝ 0 の
１つの解が 1 より大きく 2 より小さい、
もう１つの解が 3 より大きく 4 より小さいとき、
b の値の範囲を求めよ。
次回 ㉔ より大きく 小さい解 ４ につづきます。