『 平方根のある問題から学ぶこと 』
平方根の問題の中には、次のようなものがあります。
（問題１） 次の文の下線部の誤りを直して、正しい文にしなさい。（２点×４）
(１) 169 の平方根は 13 である。
(２) √16 ＝±4 である。
(３) √(－6)² ＝－6 である。
(４) (－√3)² ＝－9 である。
(１) (２) (３) (４) の文は、なぜ誤っているのか。そしてどのように解くのか。
考えてみます。
(１) の文の構造は、「 A は B である 」 という構造を、
(２) (３) (４) の文の構造は、「 A＝B である 」 という構造をしています。
(１) は A と B の関係が、その文を誤った文にしているのに対して、
(２) (３) (４) は 等式 A＝B が成り立っていないことが、
それらの文を正しくない文にしています。
(１) A の位置にある 「 169 の平方根 」 を考える。
169 の平方根を求めると、±√169＝±√13² ＝±13 より、
169 の平方根は ±13 です。
「 169 の平方根 」という言葉 と B の位置にある 「 13 」という数 との
関係がこの文を誤ったものにしています。
(２) 左辺の√16 を考える。
√16 ＝√4² ＝ 4 より、 4 ＝±4 は誤りです。
(３) √(－6)² ＝√36 ＝ 6 より、
左辺と右辺は等しくないので誤りです。
(４) (－√3)² ＝√3√3 ＝ 3 より、
3＝－9 となり左辺と右辺は等しくないので誤りです。
以上より、答えは (１) ±13 (２) 4 (３) 6 (４) 3 です。
この問題では正解をえるために、まず操作できる部分を操作しました。
（問題２） 次の文で、正しいものには○をつけ、誤っているものは下線部を訂正しなさい。
（２点×６）
(１) 0.9 の平方根は ±0.3 である。
(２) √(－4)² ＝－4 である。
(３) √144 ＝±12である。
(４) (－√7)² ＝－7 である。
(５) 0 の平方根は ±0 である。
(６) √a² は a である。
注意！
(６) は中学数学の内容を越えています。
解答は、下の方にあります。
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（宿題） 次の文で、正しいものには○、誤っているものには×をつけなさい。（完答で10点）
(１) 121 の平方根は 11 である。
(２) √9 の平方根は ±3 である。
(３) ±9 は 81 平方根である。
(４) 1 の平方根は ±1 である。
(５) 2 は 4 の平方根である。
この（宿題）の解答は、次回の補講 『 平方根のある問題から学ぶこと ２ 』に掲載します。
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（問題２）の解答
(１) 0.09 (２) 4 (３) 12 (４) 7 (５) 0
(６) a≦0 のとき －a 、 0≦a のとき a
(１) （±0.3）² ＝ 0.09
(２) √(－4)² ＝√16 ＝ 4
(３) √144 ＝ 12
(４) (－√7)² ＝√7√7 ＝ 7
(５) 0 の平方根は 0 のみ
(６) 中学数学では、ルートの中が｛文字式の２乗｝であるものは扱わない。
高校数学では、ルートの中が｛ある数式｝の２乗である場合、
絶対値記号をつけて｛ある数式｝を書く。
√a² ＝ | a | （ ルート a の２乗 イコール 絶対値 a ）
絶対値 a を求めるには、
文字式 a が正のときと負のときで場合分けして絶対値記号をはずす。
a が正のとき すなわち 0 ≦ a のとき | a |＝ a
a が負のとき すなわち a ≦ 0 のとき | a |＝－a
だから（２）は、√(－4)² ＝|－4| ＝－(－4) ＝ 4 と求めることもできます。
例えば、高校数学の場合
√( x²－2x＋1) ＝ √( x－1)²
＝ | x－1|
0≦x－1のとき すなわち 1≦ x のとき | x－1|＝ x－1
x－1≦0のとき すなわち x ≦ 1 のとき | x－1|＝－(x－1) ＝－x＋1
とルートの中が２項式の２乗ならば、絶対値記号をつけて２項式を書き、
２項式の正負の場合分けにより、それぞれの絶対値を求めます。