『 解の公式は導くもの 』
○ （平方根のある問題から学ぶこと ９ の宿題） と その解答
次の８式を適切に並び替えて、２次方程式の｛解の公式｝の導出過程を示しなさい。
また、[ ] に 適切な条件(式) を入れなさい。
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ ]
x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a
ax²＋bx ＝－c
( x＋b /2a )² ＝ (b²－4ac) /4a²
x ＝－b /2a ±√(b²－4ac) /2a
x²＋( b /a ) x ＝－c /a
x＋b /2a ＝ ±√(b²－4ac) /2a
x²＋( b /a ) x＋( b /2a )² ＝－c/a＋( b /2a )²
(解答)
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 または a は 0 でない ]
⇔ ax²＋bx ＝－c
⇔ x²＋( b /a ) x ＝－c /a
⇔ x²＋( b /a ) x＋( b /2a )² ＝－c/a＋( b /2a )²
⇔ ( x＋b /2a )² ＝ (b²－4ac) /4a²
⇔ x＋b /2a ＝ ±√(b²－4ac) /2a
⇔ x ＝－b /2a ±√(b²－4ac) /2a
⇔ x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a
一般に、２次方程式の解の公式は
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ ただし、a ≠ 0 ] のとき、
x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a
を覚えるようにと指導されます。
導出過程も含めて、解の公式を 身につけるようにとは あまり指導されないようです。
この｛２次方程式の解の公式｝を覚えて、文字 a,b,c にあたる値を代入して計算することが、
将来の日常生活で役に立つ人は、ほとんどいないでしょう。
（ そのような人にとっての｛２次方程式の解の公式｝の意味 ： 日常生活に役立たないこと ）
日常生活に役立たないことは、やらなくてよいのなら、この｛解の公式｝は覚えなくてもよいでしょう。
（数学の他の単元も、さらに他の教科も役立たないことは、やらなくてよい、覚えなくてもよいでしょう）
でも定期テストに出るから、高校入試に出るから仕方なく覚える。
こうしてテストのためだけに、日常生活に役に立たないことを覚える行為が行われます。
人によっては、テストのためだけに、数学の一単元だけでなく数学の他の単元の内容も、
さらに他の教科の内容も 覚えるという行為をします。
この中３数学｛２次方程式の解の公式｝の扱い方が、
その後の知識（公式など）に対する姿勢や態度を決定してしまうかもしれません。
人によっては、特に理数系の教科に対する姿勢や態度を決定します。
解の公式を導くことは、２次方程式までの中学数学の内容を使用すれば、可能です。
できることは、やりましょう。
これまで使用獲得してきた知識でいいのです。
導くのに使う知識に、新しいものは ほとんどありません。
｛ 厳密に言うとありますが、もうこの補講で使用しました。
補講『平方根のある問題から学ぶこと ５ の宿題』 の (３) ｝
５番目の等式から６番目の等式に変形するとき、
右辺の分母 4a² は、平方根をとったあと √(4a²) になり
a の場合分け ( a＜0 のとき と 0＜a のとき ) により、
√(4a²) ＝ 2√a² ＝ 2 | a | は ∓ 2 a になります。
しかし結局、この分母 ∓ 2 a の符号 ∓ は、
分数 ±√(b²－4ac) /2a の符号±にゆだねられ、式変形において問題なし。
○ （ 補講 『 解の公式は導くもの 』 の宿題 ）
次の７つの（ ）に入る適切なものを、下の語句から選びなさい。
ax²＋bx＋c ＝ 0 [ a ≠ 0 または a は 0 でない ]
（ ）
⇔ ax²＋bx ＝－c
（ ）
⇔ x²＋( b /a ) x ＝－c /a
（ ）
⇔ x²＋( b /a ) x＋( b /2a )² ＝－c/a＋( b /2a )²
（左辺 右辺 ）
⇔ ( x＋b /2a )² ＝ (b²－4ac) /4a²
（右辺 ）
⇔ x＋b /2a ＝ ±√(b²－4ac) /2a
（ ）
⇔ x ＝－b /2a ±√(b²－4ac) /2a
（右辺 ）
⇔ x ＝ { －b ±√(b²－4ac) } / 2a
等式の性質 因数分解 平方根 文字式計算
解答は、補講 『 解の公式は導くもの ２ 』に掲載します。