『 １次関数 ㉘ 』 線分比から面積比
○ ２点O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ) と 直線 y ＝－2 x ＋ 4 上に 点P がある。
これらの３点を頂点とする三角形の面積は、12 である。点P の座標を求めよ。
確認
点P の x 座標を t とし、x ＝ t を y ＝－2 x ＋ 4 に代入すると y ＝－2 t ＋ 4
P ( t ,－2 t ＋ 4 ) となる
O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ), P ( t ,－2 t ＋ 4 ) より
1/2 | 2 ・ (－2 t ＋ 4) － 4 ・ t | ＝ 12
1/2 | － 8 t ＋ 8 | ＝ 12
1/2 | 2 | | － 4 t ＋ 4 | ＝ 12
| － 4 t ＋ 4 | ＝ 12
絶対値記号をはずす
－ 4 t ＋ 4 ＜ 0 のとき、| － 4 t ＋ 4 | ＝ －( － 4 t ＋ 4 ) ＝ 4 t － 4 より
4 t － 4 ＝ 12
t ＝ 4
これを －2 t ＋ 4 に代入して計算すると －4
点P の座標は ( 4 ,－4 )である。
－ 4 t ＋ 4 ≧ 0 のとき、| － 4 t ＋ 4 | ＝ － 4 t ＋ 4 より
－4 t ＋ 4 ＝ 12
t ＝ －2
これを －2 t ＋ 4 に代入して計算すると 8
点P の座標は ( －2 , 8 )である。
２点O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ) と 三角形をつくり その面積が 12 となるような点Q について考える。
点Q が、x 軸の正の領域にあるとき、その点をQ₁ ( s , 0 ) s ＞ 0 とする。
O ( 0 , 0 ), A ( 2 , 4 ), Q₁ ( s , 0 ) の３点を頂点とする三角形の面積は、
( s－0 ) × 4 × 1/2
これが 12 だから、
( s－0 ) × 4 × 1/2 ＝ 12 よって s＝6
Q₁ ( 6 , 0 ) になる。
OA を底辺とし面積が常に一定 になるのは、
底辺OA を含む直線 と 等距離にある 平行な直線上に 頂点Q があるときである。
よって 点Q は、Q₁ ( 6 , 0 ) を通り 直線OA と 平行な直線上に存在する。
この直線は、
直線OAの傾き は (4－0) / (2－0) ＝ 2 だから
１点 と 傾き の公式 を使って
y ＝ 2 (x－6) ＋ 0
y ＝ 2 x － 12 になる。
この直線 と 直線 y ＝－2 x ＋ 4 の交点が 求める点P である。
y ＝ 2 x － 12 と y ＝－2 x ＋ 4 から y を消去して計算すると x ＝ 4
x ＝ 4 を y ＝ 2 x － 12 か y ＝－2 x ＋ 4 に代入して計算すると y ＝－4
よって、求める点P の座標は ( 4 ,－4 ) である。
点Qが、x 軸の負の領域にあるとき、その点をQ₂ ( s , 0 ) s ＜ 0 として同様に解くと、
s＝－6となり、
点Q は、Q₂ (－6 , 0 ) を通り 直線OA と 平行な直線上に存在する。
その直線は
y ＝ 2 x ＋ 12 になる。
この直線 と 直線 y ＝－2 x ＋ 4 の交点が 求める点P である。
y ＝ 2 x ＋ 12 と y ＝－2 x ＋ 4 から y を消去して計算すると x ＝－2
x ＝－2 を y ＝ 2 x ＋ 12 か y ＝－2 x ＋ 4 に代入して計算すると y ＝ 8
よって、求める点P の座標は (－2 , 8 ) である。
以上より、（答え） ( 4 ,－4 ) , (－2 , 8 )
○ ３点O ( 0 , 0 ), A ( a , 0 ), B ( a , b ) がある。（ ただし、a ≠ 0 , b ≠ 0 ）
これらの３点から成る三角形 の面積を求めよ。
○ y ＝ 2 x 上に 点A がある。点A から x 軸に垂線をひき その足をB とする。
線分AB を一辺とする正方形ABCD をつくる。
点A の x 座標を t とするとき、点C の座標を t を使って表せ。
次の [ １ ] ～ [ ５ ] に 適切な語句・式など を入れてください。
点A の x 座標を t とすると A [ ( t , 2 t ) ₁ ] となり、
点A から x 軸への垂線の足 B は [ ( t , 0 ) ₂ ] になる。
正方形 A B C D より [ AB ₃ ] ＝ BC で、
AB ＝ [ 2 t － 0 ₄ ] ＝ 2 t だから、C [ ( 3 t , 0 ) ₅ ] となる。
点A と t についての条件が特にないので、
点A と 点D は 第１象限 と 第３象限 の両方に存在可能となり、正方形ABCD は２つできる。
○ y ＝ 2 x 上の 点A から x 軸に垂線をひき その足をB とする。
線分AB を一辺とする正方形ABCD をつくると、
点D は、y ＝－2/3 x ＋ 12 上の点になった。
このとき、点A の座標を求めよ。
☆ 線分の長さの比 が 面積の比に
・ ４点O ( 0 , 0 ), A ( 5 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( 2 , 0 ) がある。
△B O C と △B C A の面積を求めて、その面積比を求めてみます。
△B O C について
点O , C は x 軸上にあり、点B から x 軸への垂線の足をH とすると H ( 4 , 0 ) なるから
底辺を OC ＝ 2－0 ＝ 2 とすると、それに垂直な高さは BH ＝ 4－0 ＝ 4 である
2 × 4 × 1/2 より △B O C ＝ 4
△B C A ついて
点C , A は x 軸上にあるので、
底辺を CA ＝ 5－2 ＝ 3 とすると、それに垂直な高さは 同様に BH ＝ 4 である
3 × 4 × 1/2 より △B O A ＝ 6
以上より △B O C ： △B C A ＝ 4 ： 6 ＝ 2 ： 3
このように、実際２つの三角形の面積を求めて 面積比を求めるのも１つの解法であるが、
次のように、面積を求めなくても、線分比 から 面積比 を求めるのも１つの解法である。
( この解法により、面積比より割合を求めて間接的に面積を求める解法が生まれる )
△B O C と △B C A の底辺OC と CA は同一直線にあり、
それらの高さは BH で共通 （ 同じ ） だから、
底辺の長さの比 が 面積比 になる
△B O C ： △B C A ＝ OC ： CA ＝ 2 ： 3
さらに
△B O C ： △B C A ： △B O A ＝ OC ： CA ： OA ＝ 2 ： 3 ： 5 だから、
△B O C の面積 の △B O A の面積 に対する割合は、 2 / 5 である。
○ ４点O ( 0 , 0 ), A ( 5 , 0 ), B ( 4 , 4 ), C ( t , 0 ) がある。 ( ただし、0 ＜ t ＜ 5 )
△B O C と △B C A の面積を求めよ。
△B O C の面積 の △B O A の面積 に対する割合を求めよ。
○ ３点O ( 0 , 0 ), A ( t , 0 ), C ( s , 0 ) があり ( ただし、0 ＜ s ＜ t ) 、点B は 第１象限 にある。
△B O C と △B C A の面積を求めよ。
△B C A の面積 の △B O A の面積 に対する割合を求めよ。
‘ 高さ が 同じ等しい なら、底辺の長さの比 が 面積比 になる ’
次回 『 １次関数 ㉙ 』 高さ が 同じ 等しい 共通 につづきます。