㉖ 『 証明済みの性質を使う 』
○ 平行四辺形の定義から性質を導く
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
平行四辺形の定義 ： ２組の向かいあう辺 (対辺) がそれぞれ平行な四角形 を 平行四辺形 という。
この定義を使って、
性質 「 平行四辺形は、２組の対辺が それぞれ[等しい] 四角形である。」を導く。
性質 「 平行四辺形は、２組の向かいあう角 (対角)が それぞれ[等しい] 四角形である。」も導く。
( 証明 )
平行四辺形A B C D がある。
対角線ACをひく。
△A B C と△C D A について
根拠 [共通の辺] だから、
主張 AC ＝ CA ・ ・ ・ ①
根拠 [AD // BC] より、 ( 錯角が等しいから、)
主張 ∠B C A ＝ ∠D A C ・ ・ ・ ②
根拠 [AB // DC] より、 ( 錯角が等しいから、)
主張 ∠C A B ＝ ∠A C D ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
合同条件 [ １辺とその両端の角がそれぞれ等しい ] から、
△A B C ≡ △C D A である。
合同な図形の[対応する辺] は等しいから、
AB ＝ CD , [ BC ＝ DA ] である。
よって、
平行四辺形は、２組の対辺がそれぞれ等しい四角形である。
また、
合同な図形の[対応する角] も等しいから、
∠A B C ＝ ∠C D A ・ ・ ・ ④
② , ③ と
∠B C D ＝ ∠B C A ＋ ∠A C D
∠D A B ＝ [∠D A C ＋ ∠C A B ]
より、
∠B C D ＝ ∠D A B ・ ・ ・ ⑤
④, ⑤ より、
平行四辺形は、２組の対角がそれぞれ等しい四角形である。
( 証明終わり )
平行四辺形の定義 AD // BC , AB // DC を使って、
性質 AB ＝ CD , BC ＝ DA
性質 ∠A B C ＝ ∠C D A , ∠B C D ＝ ∠D A B を、
証明により、導いた。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
性質 「 平行四辺形は、２組の対辺が それぞれ等しい四角形である。」 と
性質 「 平行四辺形は、２組の対角が それぞれ等しい四角形である。」 を導いたとき、
平行四辺形の定義 「 平行四辺形は、２組の対辺がそれぞれ[ ]である四角形である。」 と
[ ]を (共通の辺として) 使った。
性質 「 平行四辺形は、対角線がそれぞれ中点で交わる四角形である。」 を導くには、
定義 と 何を 使いましょうか。
平行四辺形A B C D に対角線AC , BD をひき、その交点を O とすると、
[ ] と OB ＝ OD を証明できれば、対角線がそれぞれ中点で交わることを示せる。
線分OA と OB を ２辺とする三角形は [ ] で、
線分OC と OD を ２辺とする三角形は [ ] だから、
[ ] と [ ] の合同証明で使える合同条件は、
「 [ ] がそれぞれ等しい」 のみとなる。
よって、AB ＝ CD を主張しなければならない。
しかし、平行四辺形の定義には、「 辺が等しい 」 という記述がない。
( 証明 )
平行四辺形A B C D がある。
対角線AC , BD をひく。
対角線ACとBDの交点を O とする。
[ ] と [ ] について
根拠 [ ] より、( 錯角が等しいから、) ( 定義 )
主張 [ ] ・ ・ ・ ①
主張 [ ] ・ ・ ・ ②
根拠 平行四辺形の２組の[ ] から、 ( 証明済みの性質 )
主張 [ ] ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
合同条件 [ ] から、
△O A B ≡ △O C D である。
合同な図形の[ ] は等しいから、
OA ＝ OC , OB ＝ OD である。
よって、
平行四辺形は、対角線がそれぞれ中点で交わる四角形である。
( 証明終わり )
次回の ㉗ 『 なるための条件 平行四辺形 』 に続きます。