㉚ 『 逆は、必ずしも 』
長方形の定義 ： ４つの角が等しい四角形 を 長方形 という。
ひし形の定義 ： ４つの辺が等しい四角形 を ひし形 という。
正方形の定義 ： ４つの辺が等しく かつ ４つの角が等しい四角形 を 正方形 という。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
長方形の性質 「 対角線の長さが等しい。」
すなわち 「長方形は、対角線の長さが等しい四角形である。」 を導きます。
( 証明 )
長方形A B C D がある。
対角線AC, BD をひく。
△A B C と △D C B について
長方形は [ ４つの角 ] が等しいから、 (定義)
∠A B C ＝ ∠D C B ・ ・ ・ ①
また [ ２組の対角 ] がそれぞれ等しいから、 (平行四辺形になるための条件)
長方形は [ 平行四辺形 ] なので、
AB ＝ DC ・ ・ ・ ② (平行四辺形の性質)
[ 共通の辺 ] だから、
BC ＝ CB ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
[ ２辺とその間の角がそれぞれ等しい ] から、
△A B C ≡ △D C B である。
合同な図形の[ 対応する辺 ] は等しいから、
AC ＝ DB
以上より、
長方形は、対角線の長さが等しい四角形である。
( 証明終わり )
☆ 長方形になるための条件
(１) 対角線の長さが等しい[ 平行四辺形 ] は、長方形 である。
(２) １つの角が 90°である[ 平行四辺形 ] は、長方形 である。
○ 次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
ひし形の性質 「 対角線が垂直に交わる。」
すなわち 「 ひし形は、対角線が垂直に交わる四角形である。」 を導きます。
( 証明 )
ひし形A B C D がある。
対角線AC, BDをひき、交点を O とする。
ひし形は４つの辺が等しいから、 (定義)
△A B D は、AB ＝ AD の [ 二等辺 ] 三角形である。
また、２組の対辺がそれぞれ等しいから、 (平行四辺形になるための条件)
ひし形は [ 平行四辺形 ] なので、
対角線がそれぞれ[中点]で交わり、BO ＝ OD である。 (平行四辺形の性質)
よって、
AOは、二等辺三角形A B D の[中線] になり、底辺BDと[垂直] に交わる。 ( 二等辺三角形の性質 )
ゆえに、
AO ⊥ BD である。
以上より、
ひし形は、対角線が垂直に交わる四角形である。
( 証明終わり )
☆ ひし形になるための条件
(１) 対角線が垂直に交わる[ 平行四辺形 ] は、ひし形 である。
(２) １組の となりあう辺の長さが等しい[ 平行四辺形 ] は、ひし形 である。
☆ 逆は、必ずしも 真 ならず ( 正しくない ) 。
「 A は B である。」の逆は、「 B は A である。」である。 逆とは、主語部分と補語部分を入れ替えたもの。
「 A ならば B である。」の逆は、「B ならば A である。」である。 逆とは、「ならば」の前後を入れ替えたもの。
「 長方形は、対角線の長さが等しい四角形 である。」 という言葉は、正しい。
しかし、
逆 の 「 対角線の長さが等しい四角形は、長方形 である。」 という言葉は、正しくない。
反例 対角線の長さが等しい台形を描くことができる。
対角線の長さが等しい四角形は、必ずしも 長方形 ではない。
「 ひし形は、対角線が垂直に交わる四角形 である。」 という言葉は、正しい。
しかし、
逆 の 「 対角線が垂直に交わる四角形は、ひし形 である。」 という言葉は、正しくない。
反例 ひし形以外に、対角線が垂直に交わる四角形や台形を描くことができる。
対角線が垂直に交わる四角形は、必ずしも ひし形 ではない。
「 長方形は、対角線の長さが等しい四角形 である。」 という言葉は、正しい。 ( 長方形の性質 )
「 長方形は、対角線の長さが等しい平行四辺形 である。」 という言葉も、正しい。( 長方形になるための条件の逆 )
「 長方形は、対角線の長さが等しい四角形 である。」 という言葉が、正しいのは、
長方形が、対角線の長さが等しい四角形の仲間 に含まれるから。
( 長方形は、対角線の長さが等しい四角形 であるための十分条件だから。)
よって、
この言葉の逆は、正しくない。
「 長方形は、対角線の長さが等しい平行四辺形 である。」 という言葉が、正しいのは、
長方形が、対角線の長さが等しい平行四辺形の仲間 に含まれ、
対角線の長さが等しい平行四辺形が、長方形の仲間 に含まれるから。
( 長方形は、対角線の長さが等しい平行四辺形 であるための必要十分条件だから。
つまり 長方形 と 対角線の長さが等しい平行四辺形 は 同値 であるから。)
よって、
この言葉の逆も、正しい。
主語部分 と 補語部分が 同値 ( 「ならば」の前後が同値 ) のとき、逆は、真である。
○ 正方形の性質 「 対角線の長さが等しく かつ 垂直に交わる。」
すなわち 「 正方形は、対角線の長さが等しく かつ 垂直に交わる四角形 である。」 を導きましょう。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
( 証明 )
正方形A B C D がある。
対角線AC, BD をひき、その交点を O とする。
△A B C と [ ] について
正方形は [ ] が等しく かつ [ ] が等しいから、 (定義)
[ ] ＝ DC ・ ・ ・ ①
∠A B C ＝ [ ] ・ ・ ・ ②
[ ] だから、
BC ＝ CB ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
[ ] から、
△A B C ≡ [ ] である。
合同な図形の対応する辺は等しいから、
[ ] である。
さらに、
正方形は４つの辺が等しいから、
△A B D は、AB ＝ AD の [ ] 三角形である。
また、２組の対辺がそれぞれ等しいから、 (平行四辺形になるための条件)
正方形は [ ] なので、
対角線がそれぞれ[ ]で交わり、BO ＝ OD である。 (平行四辺形の性質)
よって、
AOは、二等辺三角形A B D の[ ] になり、底辺BDと[ ] に交わる。 ( 二等辺三角形の性質 )
ゆえに、
AO ⊥ BD である。
以上より、
正方形は、対角線の長さが等しく かつ 垂直に交わる四角形 である。
( 証明終わり )
☆ 正方形になるための条件
(１) [ ] の長さが等しく かつ 垂直に交わる[ ] は、正方形 である。
(２) １組の [ ] の長さが等しく かつ １つの角が 90°である[ ] は、正方形 である。
次回の ㉛ 『 平行線 』 に続きます。