㊱ 『 合同と等積三角形を使って 』
【 合同証明の応用 】
○ AB ： BC ： CA ＝ 4 ： 5 ： 3 の△A B C がある。
ABを １辺とする正三角形A D B 、 ( 点D は 辺AB について 点C の反対側 )
CAを １辺とする正三角形C E A を描く。 ( 点E は 辺CA について 点B の反対側 )
点B と 点E を
点D と 点C を それぞれ直線で結び、その交点を F とする。
このとき、
次の問いに答えなさい。
（１） BE ＝ DC を証明しなさい。
（２） ∠D F E の大きさを求めなさい。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
（１） ( 証明 )
△A B E と △A D C について
正三角形は、[３つの辺]が等しく [３つの角]が等しいから、
正三角形A D B と 正三角形C E A より、
[ AB ＝ AD ] ・ ・ ・ ①
[ AE ＝ AC ] ・ ・ ・ ②
∠E A B ＝ [∠C A B ] ＋ 60°
[∠C A D ] ＝ [∠C A B ] ＋ 60°だから、
∠E A B ＝ [∠C A D ] ・ ・ ・ ③
①, ②, ③より、
[ ２辺とその間の角がそれぞれ等しい ] から、
△A B E ≡ △A D C である。
合同な図形の[対応する辺] は等しいから、
[ BE ＝ DC ] である。
( 証明終わり )
（２） ∠D F E の[対頂角] は、∠B F C である。
２点A , F を通る直線をひき、( 辺BC との交点を G として、)
三角形の外角 を考えると、
( ∠G F B ＝ ∠A B E ＋ ∠F A B
∠G F C ＝ ∠A C D ＋ ∠F A C となり、 )
( ∠B F C ＝ ∠G F B ＋ ∠G F C
∠C A B ＝ ∠F A B ＋ ∠F A C だから、 )
∠B F C ＝ ∠A B E ＋ ∠A C D ＋ [∠C A B ] ← ( やじり形の１つの凹の角は、３つの凸の角の和に等しい )
（１） の △A B E ≡ △A D C より、
合同な図形の[対応する角] は等しいから、
∠A B E ＝ [∠A D C ] である。
よって、
∠B F C ＝ ∠A B E ＋ ∠A C D ＋ ∠C A B
＝ [∠A D C ] ＋ ∠A C D ＋ ∠C A B
△A D C において
[∠A D C ] ＋ ∠A C D ＋ ∠C A B ＋ 60°＝ 180°
ゆえに、∠B F C ＝ [∠D F E ] ＝ 120°
(答え) ∠D F E ＝ 120° である。
○ AB ： BC ： CA ＝ 5 ： 3 ： 4 の△A B C がある。
ABを １辺とする正方形A E F B 、 ( 点E, F は 辺AB について点C の反対側 )
CAを １辺とする正方形C G H A を描く。 ( 点G, H は 辺CA について点B の反対側 )
点E と 点C を
点B と 点H を それぞれ直線で結び、その交点を P とする。
このとき、
次の問いに答えなさい。
（１） EC ＝ BH を証明しなさい。
（２） ∠E P H の大きさを求めなさい。
（１） ( 証明 )
△A E C と △A B H について
正方形は、４つの辺が等しく かつ ４つの角が等しいから、
正方形A E F B と 正方形C G H A より、
AE ＝ AB ・ ・ ・ ①
AC ＝ AH ・ ・ ・ ②
∠C A E ＝ ∠C A B ＋ 90°
∠H A B ＝ ∠C A B ＋ 90°だから、
∠C A E ＝ ∠H A B ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より、
２辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△A E C ≡ △A B H
合同な図形の対応する辺は等しいから、
EC ＝ BH である。
( 証明終わり )
（２） ∠E P H の対頂角 は、∠B P C である。
２点A , P を通る直線をひき、
三角形の外角 を考えると、
∠B P C ＝ ∠A B H ＋ ∠A C E ＋ ∠C A B ← ( やじり形の１つの凹の角は、３つの凸の角の和に等しい )
（１） の △A E C ≡ △A B H より、
合同な図形の対応する角 は等しいから、
∠A E C ＝ ∠A B H である。
よって、
∠B P C ＝ ∠A B H ＋ ∠A C E ＋ ∠C A B
＝ ∠A E C ＋ ∠A C E ＋ ∠C A B
△A E C において
∠A E C ＋ ∠A C E ＋ ∠C A B ＋ 90°＝ 180°
ゆえに、∠B P C ＝ ∠E P H ＝ 90°
(答え) ∠E P H ＝ 90° である。
○ 合同 と 等積三角形を使って、○ ○ ○ の定理 ( □ □ □ □ □ の定理 ) を導く。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
∠B C A ＝ 90°, CA ＝ b , AB ＝ c , BC ＝ a の 直角三角形C A B がある。
辺CA を１辺とする正方形C D E A 、 ( 点D, E は 辺CAについて点B の反対側 )
辺AB を１辺とする正方形A F G B 、 ( 点F, G は 辺ABについて点C の反対側 )
辺BC を１辺とする正方形B H I C ( 点H, I は 辺BCについて点A の反対側 )
を描く。
点B と 点E を
点F と 点C をそれぞれ直線で結ぶ。
△A B E と △A F C が [ ] であることを証明する。
△A B E と △A F C について
正方形は、[ ] が等しく かつ [ ] が等しいから、
正方形C D E A と 正方形A F G B より、
AB ＝ AF ・ ・ ・ ①
AE ＝ AC ・ ・ ・ ②
∠E A B ＝ ∠C A B ＋ 90°
∠C A F ＝ ∠C A B ＋ 90°だから、
∠E A B ＝ ∠C A F ・ ・ ・ ③
①, ②, ③より、
２辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△A B E ≡ △A F C ・ ・ ・ ④
である。
等積三角形をおさえる。
点C から 辺AB と 辺FG に垂線をひき、それぞれの足をJ , K とする。
∠A F K ＝ ∠C K G ＝ 90°より、 ( [ ] が等しいから )
[ ] だから、
△J A F ＝ △C A F ・ ・ ・ ⑤
∠C A E ＝ [ ] ＝ 90°より、 ( [ ] が等しいから )
BC // AE だから、
△B E A ＝ △C E A ・ ・ ・ ⑥
④, ⑤, ⑥ より、
△J A F ＝ △C E A
そして
長方形J A F K ＝ ２ × △J A F
正方形C D E A ＝ ２ × △C E A だから、
長方形J A F K ＝ 正方形C D E A ・ ・ ・ ⑦
つぎに、
点H と 点A を
点C と 点G をそれぞれ直線で結んで、
△B H A と △B C G が合同であることを証明する。
[ ] について
[ ] ので
[ ] より、
[ ] ・ ・ ・ ⑧
[ ] ・ ・ ・ ⑨
[ ]
[ ] だから、
[ ] ・ ・ ・ ⑩
⑧, ⑨, ⑩ より、
[ ] から、
[ ] ・ ・ ・ ⑪
である。
等積三角形をおさえる
∠B G K ＝ ∠C K F ＝ 90°より、
[ ] だから、
[ ] ・ ・ ・ ⑫
[ ] より、
[ ] だから、
[ ] ・ ・ ・ ⑬
⑪, ⑫, ⑬ より、
[ ]
そして
長方形J K G B ＝ ２ × [ ]
正方形B H I C ＝ ２ × [ ] だから、
長方形J K G B ＝ 正方形B H I C ・ ・ ・ ⑭
⑦, ⑭より、
長方形J A F K ＋ 長方形J K G B ＝ 正方形C D E A ＋ 正方形B H I C
長方形J A F K ＋ 長方形J K G B ＝ [ ] だから、
[ ] ＝ 正方形C D E A ＋ 正方形B H I C
[ ] ＝ c ²
正方形C D E A ＝ b ²
正方形B H I C ＝ a ² なので ( 小学算数 正方形の面積公式 より )
c ² ＝ a ² ＋ b ² が成り立つ。
以上により、
「 [ ]三角形において、
[ ] の２乗は、他の２辺の２乗の[ ] に等しい。」 という
中３数学の [ ] の定理 ( [ ] の定理 ) を導いた。
次回の ㊲ 『 三平方の定理が導けた 』 に続きます。