札幌医科数学　2016第2問（図形と式） | 大学受験in北海道

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札幌医科数学　2016第2問（図形と式）

2021/10/28　まず，図を描いて，どういう状況なのか調べます。

2022/10/19　文章の一部を修正しました．

　　　　　　(1)（標準）(2)（標準）(3)（やや難）です．

2023/07/05　式を訂正しました．補足を加えました．

2024/07/19　解答に必要な基礎事項を補足しました．

　　　　　　　式を訂正しました．

(1)　

　　上の図で△OAPの外心は，直線　x＝a/2　とOPの垂直二等分線上にあります。

　　OPの中点をQ'とすると，Q'は半径1/2の円周上にあるので，点Q'における

　半径1/2の円の接線がOPの垂直二等分線になります。

　　そうすると，ｙ座標が最も小さい外心Qは，x＝a/2と半径1/2の円との交点が

　　　図のQ0になるとき，

　　最も大きいQは，x＝a/2と半径1の円との交点が

　　　図のQmになるとき

　であることがわかります。

　　よって，qの最小値は，中心 O, 半径1/2 の円と x=a/2 の交点の y 座標より，

　　　　　　　　　　　 $(\frac{a}{2})^2+q^2=(\frac{1}{2})^2 \quad\to\quad q_{min}=\frac{\sqrt{1-a^2}}{2}$

　　qの最大値は，中心 O, 半径 1 の円と x=a/2 の交点の y 座標より

　　　　　　　　　　　　 $(\frac{a}{2})+q^2=1^2 \quad\to\quad q_{max}=\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}$

　　したがって，最小値をとるQ0と最大値をとるQmの間に除外点はないので，

　q のとる値の範囲は，

　　　　　　　　　　　　　　 $\frac{\sqrt{1-a^2}}{2} \le q \le \frac{\sqrt{4-a^2}}{2}$

　となります．

(2)　OPの垂直二等分線がQmを通る場合ので，下の図のP1とP2が求めるPである

　　ことがわかります。

　　　△OP1Qmも△OP2Qmも正三角形であるので，Qmを±π/3回転させた点がP1，

　　P2になります．

　　　

　　　複素数　(1/2)± i (√3/2)　を用いて，P1，P2の座標を計算すると，

　　　　 $(\frac{a}{2}+i\frac{\sqrt{4-a^2}}{2})(\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{a\mp\sqrt{3(4-a^2)}}{4}+i\frac{\sqrt{4-a^2}\pm \sqrt{3}a}{4}$

　　　したがって，P1，P2の座標はそれぞれ，

$(\frac{a+\sqrt{3(4-a^2)}}{4},\frac{\sqrt{4-a^2}-\sqrt{3}a}{4}) \quad,\quad(\frac{a-\sqrt{3(4-a^2)}}{4},\frac{\sqrt{4-a^2}+\sqrt{3}a}{4})$

＊）2点間の距離の式からも計算できます．

(3)　点Pが，（1，0）とP1の間にあるとき，外心はQmより上方になり条件

　　を満たしません。

　　　また，点Pが（-1，0）とP2の間にあるときも，外心はQmより上方に

　　なり条件を満たしません。

　　　よって，PがP1からP2まで動くときの△OPAの動く範囲が求める領域に

　　なります．

　　　したがって，扇形OP1P2　＋　△OP1A　の面積を求めることになります。

　　　扇形OP1P2　の面積は，π/3　（半径1，中心角2π/3の扇形）

　　　また，

　　　　　　　　　 $\triangle{OP_1A}=\frac{1}{2}a\frac{\sqrt{4-a^2}-\sqrt{3}a}{4}$

　　　よって，求める面積は，

　　　　　　　　　　 $\frac{\pi}{3}+\frac{a(\sqrt{4-a^2}-\sqrt{3}a)}{8}$

＊）解答に必要な基礎事項