札幌医科数学　2016第1問（小問集合） | 大学受験in北海道

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札幌医科数学　2016第1問（小問集合）

2021/10/24 答えの数値は，さほどきれいな値ではないので，途中経過の見直しが

　　　　　　できるように計算用紙を使いたいものです。

2022/10/18　文章の一部を修正しました．

　　　　　(1)（やや易）(2)(ⅰ)（易）(ⅱ)（やや易）(ⅲ)（やや易）(3)（やや易）です．

2024/07/18　解答に必要な基礎事項を補足しました．

(1)　いわゆる一次独立の計算問題です。

　　　　　　　　　 $\overrightarrow{AB}=(-1,2,-1)\quad,\quad\overrightarrow{AC}=(1,1,-4)$

　より，実数α，βを用いて，

　　　　　　　 $\overrightarrow{AD}=(a,b,-1)=\alpha(-1,2,-1)+\beta(1,1,-4)$

　　よって，

　　　　　　　　 $a=-\alpha+\beta \quad,\quad b=2\alpha+\beta \quad,\quad -1=-\alpha-4\beta$

　が成り立ちます。

　　左の式から，真ん中の式を引くと，

　　　　　　　　　　 $a-b=-3\alpha \quad\to\quad \alpha=\frac{b-a}{3}$

　　左の式の2倍と，真ん中の式を足すと，

　　　　　　　　　　 $2a+b=3\beta \quad\to\quad \beta=\frac{2a+b}{3}$

　　求めたα，βを右の式に代入すると，

　　　　　 $-1=-\frac{b-a}{3}-4\frac{2a+b}{3}\quad\to\quad 7a+5b=3$

(2)　

　(ⅰ)　底2の対数をとって，

　 $b_{n+1}=4+3b_n \quad\to\quad b_{n+1}+2=3(b_n+2)\quad\to\quad b_n=-2+(b_1+2)\times3^{n-1}$

　　ここで，b1＝log_2(a1)＝log_2(a)より，

　　　　　　　　　 $b_n=-2+(\log_2{a}+2)3^{n-1}$

　(ⅱ)　対数を指数に直すと，

　(ⅲ)　必要条件として，

　　　 $a_1=a \quad,\quad a_2=16a^4 \quad\to\quad a=16a^3 \quad\to\quad a(16a^2-1)=0$

　　初項は正だから，　

　　　　　　　　　　　　　　　　 $a=\frac{1}{4}$

　　このとき確かに，題意をみたす。

　　といってもいいのでしょうが、時間があれば確認計算をしておきま

　しょう。

　　　　　　　　　　 $a_n=\frac{1}{4}(4\times\frac{1}{4})^{3^{n-1}}=\frac{1}{4}$

(3)　問題の式の両辺を2乗すると，

　　　　　　　　　 $4(z-4)(\overline{z}-4)=9(z-3i)(\overline{z}+3i)$

　　　　　 $5z\overline{z}+(16+27i)z+(16-27i)\overline{z}+17=0$

　　　　　　　　　　　 $(z+\frac{16-27i}{5})(\overline{z}+\frac{16+27i}{5})=36$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $|z+\frac{16-27i}{5}|=6$

　　中心 (27i-16)/5　半径6　の円を表します。

＊）解答に必要な基礎事項