札幌医科数学　2017第3問（確率漸化式：極限，期待値） | 大学受験in北海道

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札幌医科数学　2017第3問（確率漸化式：極限，期待値）

2021/10/22　典型的な確率漸化式と極限の問題ですが，(4)では，計算結果が正しくても

　　　　　　不安になるような数値がでます。

2022/10/17　文章の一部を修正しました．

　　　　　　(1)（易）(2)（やや易）(3)（やや易）(4)（標準）です．

2024/07/17　解答に必要な基礎事項を補足しました．

(1)　1回目　　2回目

　　　　1g　　　1g　または　3ｇ

　　　　2g　　　2g　または　3g

　と選べばよいので，

　　　　　　 $p_1=a \quad,\quad p_2=\frac{a}{2}(\frac{a}{2}+1-a)+\frac{a}{2}(\frac{a}{2}+1-a)=a(1-\frac{a}{2})$

(2)　n回目に左右の皿に載っている重さの差が1gのときの確率をp1(n)

　その差が2gのときの確率をp2(n)とすると，

　　　　　　　　　　　 $p_{1n}=(1-a)p_{1(n-1)}+\frac{a}{2}p_{2(n-1)}$

　　　　　　　　　　　 $p_{2n}=\frac{a}{2}p_{1(n-1)}+(1-a)p_{2(n-1)}$

　　　ここで，

　　　　　　　　　　 $p_n=p_{1n}+p_{2n}$

　　　よって，

　　　　　　　　 $p_n=(1-\frac{a}{2})p_{n-1} \quad\to\quad p_n=a(1-\frac{a}{2})^{n-1}$

(3)　また，n≧2で，

　　　　　　　　 $q_n=\frac{a}{2}p_{1(n-1)}+\frac{a}{2}p_{2(n-1)}=\frac{a}{2}p_{n-1}=\frac{a^2}{2}(1-\frac{a}{2})^{n-2}$

　　n＝1で，

　　　　　　　　 $q_1=1-a$

(4)　機械的に計算するだけです。

　　　　　　　　　　 $\sum_{n=1}^\infty n q_n=q_1+\sum_{n=2}^\infty n\frac{a^2}{2}(1-\frac{a}{2})^{n-2}$

　　ここで，

　　　　　　 $S_n=2(1-\frac{a}{2})^0+3(1-\frac{a}{2})^1+\cdots+n(1-\frac{a}{2})^{n-2}$

　とおくと，

　　 $(1-\frac{a}{2})S_n=2(1-\frac{a}{2})^1+3(1-\frac{a}{2})^2+\cdots+(n-1)(1-\frac{a}{2})^{n-2}+n(1-\frac{a}{2})^{n-1}$

　　辺々引くと，

　　

　　 $\frac{a}{2}S_n=(1-\frac{a}{2})^0+(1-\frac{a}{2})^0+(1-\frac{a}{2})^1+\cdots+(1-\frac{a}{2})^{n-2}-n(1-\frac{a}{2})^{n-1}$

　　　　　 $=1+\frac{1-(1-\frac{a}{2})^{n-1}}{1-(1-\frac{a}{2})}-n(1-\frac{a}{2})^{n-1}$

　 0＜1-a/2＜1　より，

　　　　　　 $\lim_{n\to\infty} (1-\frac{a}{2})^{n-1}=0 \quad,\quad \lim_{n\to\infty}n(1-\frac{a}{2})^{n-1}=0$

　（　＊：　後者の不等式は二項定理で第二項までとって，はさみうち

　　で示せますが，さらっと書く程度でよいでしょう）

　したがって，

　　　　　　　　　　 $\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{2}{a}(1+\frac{2}{a})$

　∴

　　　　　 $\sum_{n=1}^\infty n q_n=1-a+\frac{a^2}{2}\times\frac{2}{a}(1+\frac{2}{a})=3$

＊）　n回目で終わるとき，n点の得点が得られるとすると，Σn(qn)は，得られる

　　得点の期待値ということになります。

＊解答に必要な基礎事項