札幌医科数学　2021問題3 | 大学受験in北海道

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札幌医科数学　2021問題3

2021/03/25

2022/09/29　文章の一部を修正しました．

　　　　　　(1)（やや易）(2)（標準）(3)（やや易）です．

2023/07/01　式を訂正しました

2024/07/09　解答に必要な基礎事項を補足しました

(2)(3)は典型的な処理で，誘導もあり解きやすい問題でした。

(1)　1回の試行で，白球，赤球が出る確率は，それぞれ，

　　　　　　　　　　　　 $\frac{m}{m+n} \quad,\quad \frac{n}{m+n}$

　です。

　　k回中，k回とも白球の確率pk(k)は，

　　　　　　　 $p_k (k)=(\frac{m}{m+n})^k$

　k＋1回の試行で，1～k回目に白球がk－1回，赤球が1回戻されて，k＋1回目に

白球が戻される確率は，

　　 $p_k(k+1)=_kC_{k-1}(\frac{m}{m+n})^{k-1}\frac{n}{m+n}\times \frac{m}{m+n}=k\frac{n}{m+n}(\frac{m}{m+n})^k$

(2)　x＋1回の試行で，1～x回目に白球がk－1回，赤球がx－k＋1回戻されて，

　　x＋1回目に白球が戻される確率は，

　

$p_k (x+1)=_xC_{k-1}(\frac{m}{m+n})^{k-1}(\frac{n}{m+n})^{x-k+1}\frac{m}{m+n}=\frac{x!}{(k-1)!(x-k+1)!}(\frac{m}{m+n})^k(\frac{n}{m+n})^{x-k+1}$

　　x回の試行で，1～x－1回目に白球がk－1回，赤球がx－k回戻されて，

　x回目に白球が戻される確率は，

$p_k(x)=\frac{(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}(\frac{m}{m+n})^k (\frac{n}{m+n})^{x-k}$

よって，

(3)　(2)で，m＝3，n＝7，k=2 のとき，

　　　　　　 $\frac{p_2(x+1)}{p_2(x)}=\frac{7}{10}\times\frac{x}{x-2+1}=\frac{7x}{10(x-1)}>1$

　これをを解くと，

　　　　　　　　　 $3x<10 \quad\to\quad x<3.3\cdots$

　よって，

　　　　　　　　　 $p_2(3)<p_2(4)>p_2(5)>\cdots$

　最大値は，

　　　　　　　　　　　　　 $p_2(4)=\frac{3!}{1!(4-2)!}(\frac{3}{10})^2 (\frac{7}{10})^2=\frac{1323}{10000}$

となる．

＊）典型パターンの問題です．

＊）解答に必要な基礎事項