2021/02/06 空間ベクトルの標準的な問題です。
2022/09/18 文章の一部を修正しました。
問1(易),問2(やや易),問3(標準)です。解法に悩む問題ではありません。
2023/08/14 文字を修正しました.
問1 空間のベクトル方程式は発展事項で,平面のベクトル方程式は通常の内容という
不思議なカリキュラムになっているのですが,普通に考えればよいでしょう。
原点をO,tを実数として,直線 l 上の点をP(x,y,z)とすると,
同様に t’を実数,直線m上の点をQ(x.,y.z)とすると,
問2 直線 l と m が交わるなら,
1+t=1+2t’ ・・・①
2+t=1 ・・・②
3-2t=1+t’ ・・・③
をみたす,t,t’が存在するが,②よりt=-1,①よりt’=-1/2 ③よりt’=4
となるので,①,②,③を同時に満たすt,t'は存在しないので,
直線lと直線mの交点は存在しない。
問3 l と m に直交する直線 n の方向ベクトルを (p,q,r) とすると,
方向ベクトルの内積が0であることから,
p+q-2r=0
2p +r=0
より,(p,q,r) // (1,-5 ,-2) .
直線 n は点(1+t,2+t,3-2t)を通り方向ベクトル (1,-5,-2)だから,
直線n上の点は,
x=1+t+k
y=2+t-5k
z=3-2t-2k
と表すことができる。
また,直線 n は,直線mと交わるから,
1+t+k=1+2t’ ・・・④
2+t-5k=1 ・・・⑤
3-2t-2k=1+t’ ・・・⑥
④,⑤,⑥を同時に満たす必要があります。
よって,④,⑥より
t’=2/5 ⇒ t+k=4/5 ・・・④’
④’,⑤より,
k=3/10,t=1/2
ゆえに,