旭川医科数学　2007問題3 | 大学受験in北海道

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旭川医科数学　2007問題3

2021/02/05

2022/09/17　文章の一部を修正しました。

　　　　　　問1は（やや易），問2は（標準）です。

2023/08/14　問2後半を入力し直しました．

公比は0のときもあることに注意して場合分けしていきます。

問1　漸化式を解くのですが，教科書傍用でよくみる形です。

　　　 $b_n=2\times2^{n-1}=2^n$

より，

　　　 $a_{n+1}-\frac{2}{3}a_n=\frac{1}{3}\times 2^n$

両辺を2^(n+1)（2のn+1乗)で割ると，次の漸化式が得られます。

　　　　 $\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{1}{3}\times\frac{a_n}{2^n}=\frac{1}{6}$

a(n)/2^n＝p (n)と置くと，漸化式は，p1=1/4に注意して，

　　　　 $p_{n+1}-\frac{1}{3}\times p_n=\frac{1}{6} \quad\to\quad p_{n+1}-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}(p_n-\frac{1}{4})$

　　　　→　　 $p_n-\frac{1}{4}=(p_1-\frac{1}{4})(\frac{1}{3})^{n-1} \quad\to\quad p_n=\frac{1}{4}$

よって，

　　　　　　　　　　　　 $a_n=\frac{1}{4}\times 2^n=2^{n-2}$

(2）　

a_nが等比数列とする。つまり，

　　　　　　　　　　　　　　　　 $a_n=a_1 s^{n-1}$

のとき，

　s≠0であれば，

　　　　　 $b_n=b\times r^{n-1}=3a_1\times s^{n+1}-2a_1\times s^n=a_1(3s-2)\times s^{n-1}$

　ゆえに

　　　　　　　 $b=a_1(3s-2) \quad,\quad r=s \quad\to\quad b=a_1(3r-2)$

　ここで，s＝0であれば，a1＝0，a2＝0より，b1＝b＝3a2-2a1＝0となるので不適。

よってr≠0

　また，a1＝0　または　r＝2/3　のとき，b＝0となるので不適。よって，a1≠0，r≠2/3

　したがって，問題の条件を満足する｛an}が等比数列であるための十分条件は，

　　　　　　 $b=a_1(3r-2)\quad,\quad r \ne 0 \quad,\quad r \ne \frac{2}{3} \quad,\quad a_1\ne 0$ 　・・・（＊）

　

＊）

　　　　r≠2/3，a1≠0は，問題文でb≠0があるので，言及しなくてもいいとは思います。

　　　　必要十分条件の論証に慣れておきましょう。