北大物理2019後期第1問 | 大学受験in北海道

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北大物理2019後期第1問

　第1問は力学です。(10)，(11)は解いた経験があれば，形式的な計算ですぐ解けます。

問1

　　　(1)　速さだけ求めるので，力学的エネルギー保存則です。

　　　　　点Pにおける小球の速さをvpとすると（重力の位置エネルギー

　　　　　の基準は点Bにとると）、

　　　　　　　 $mgR=\frac{1}{2}m{v_p}^2 + mgR(1-\cos{\theta}), \quad \to v_p=\sqrt{2gR\cos{\theta}}$

　　　(2)　中心方向（半径方向）の運動方程式は，等速円運動と同じ

　　　　形になるので，垂直抗力をNとすると，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $m \frac{{v_p}^2}{R}=N-mg\cos{\theta}$

　　　　　加速度の大きさは，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\frac{{v_p}^2}{R} = 2g\cos{\theta}$

　　　(3)　中心方向の運動方程式より，

　　　　　　　　　　　 $N = 2mg\cos{\theta}+mg\cos{\theta}=3mg\cos{\theta}$

　　　(4)　Bを通過した後は，等速直線運動だから，鉛直方向は力がつり　

　　　　あっています。　∴ Nb=mg

　　　　　ということは，2mg[N}減少します。

　　　(5)　点Bから点Cまでは力学的エネルギーが保存される。よって，

　　　　点Bにおける速さを求めると，(1)でθ＝0を代入すると，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $v_B=v_C=\sqrt{2gR}$

　　　(6)　Cから床面までの小球の運動は水平投射。鉛直方向は自由

　　　　落下だから，求める時間をtとして，

　　　　　　　　　　　　 $h-R=\frac{1}{2}g t^2 \quad \to t = \sqrt{\frac{2(h-R)}{g}}$

　　　(7)　水平到達距離L＝水平方向の速度×落下にかかる時間より，

　　　　　　　　　　 $L=\sqrt{2gR}\times\sqrt{\frac{2(h-R)}{g}}=2\sqrt{R(h-R)}$

問2

　　　(8)(9) 　台上の点Bにおける小球の速度をv，台の速度をVとすると，

　　　　　運動量保存則より，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $0=mv+MV$

　　　　　力学的エネルギー保存則より（重力の位置エネルギーの基準

　　　　は点Bの高さ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $mgR = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}M V^2$

　　　　　これを解いて，

　　　　　　　　　　　　　 $v = \sqrt{\frac{2MgR}{M+m}},\quad V = -\frac{m}{M}\sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$

　　　(10)(11)　この手の問題に慣れているなら，台から見て小球がRだけ　　　　　右に動いていて，かつ，小球と台の速度の比が(8),(9)より，

　　　　　M：－mなので，小球は床から見て右へ，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $R\times\frac{M}{M+m}$

　　　　　だけ移動し，台は床から見て左へ，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $R\times\frac{m}{M+m}$

　　　　　移動することがわかります。

　　　　　　上の考え方にピンとこない場合は，式を立てて解くしかないで

　　　　　しょう。

　　　　　　小球と台の重心の位置に座標原点をとります。小球がAにある

　　　　　ときの小球の位置をx1，台の重心の位置をX1，小球がBにある

　　　　　ときの小球の位置をx2，台の重心の位置をX2とします。

　　　　　　水平方向の外力がなし　　⇒　2物体系の重心の位置は不変

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\frac{mx_1+MX_1}{M+m}=\frac{mx_2+MX_2}{M+m}$

　　　　　台から見て，小球はRだけ右に移動したので，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $x_2-X_2=x_1-X_1+R$

　　　　　この2式を解いて，

　　　　　　　　　　　 $x_2-x_1=\frac{M}{M+m}R,\quad X_2-X_1=-\frac{m}{M+m}R$

　　　　　と同じ結果が得られます。(11)は負号をつけて答えます。

　　　(11)(12)　小球と台の水平方向の相対速度は，(8),(9)から，

　　　　　　　　　　　　　　 $v-V=(1+\frac{m}{M})\sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}$

　　　　小球が落下にかかる時間は，(6)と同じだから，台の右端と小球と

　　　　の距離Lは，

　　　　　　　　　 $L=\frac{M+m}{m}\sqrt{\frac{2MgR}{M+m}}\times\sqrt{\frac{2(h-R)}{g}}=2\sqrt{2R(h-R)}$

　　　(13)(14)　上の式の根号内を平方完成すると，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $L=2\sqrt{2}\sqrt{-(R-\frac{h}{2})^2+\frac{h^2}{4}}$

　　　　したがって，

　　　　　　　　　　　　　　　 $L_{max}=\sqrt{2}\,\,h \quad(R=\frac{h}{2})$

　　　　となります。

　　　　　2019後期は物理は75分です。(10)，(11)の経験があれば，15分程

　　　度で，そうでなくても25分あれば，完答は可能な問題だったといえま

　　　す。