2008年問題4です。誘導にそって計算していく問題です。
計算自体は基本的なものです。難度は問1(標準），問2問3（やや易）です。
2022/09/04 文章を一部修正しました。
2022/08/14 数値を訂正しました．
よくあるタイプの問題です。正確に計算する力が試されます。
せっかくですから，wxMaximaでどのような図になるか描いてみます。
このようなグラフになります。xが極値をとる点が１つ，yが極値をとる点が2つあることがわかります。また，求める面積は縦の点線から左の部分であることもわかります。
まず，問1ですが，x，yをtで微分します。
となるので，xは，
で極値をとり，yは，
で極値をとることがわかります。
また，コサインの値は0～πでは角が大きいほど値が小さく，b と c は b の方が
小さい（最初にyの極大値をとる）ことがわかります。
よって，
がなりたつので，
であることがわかります。
問2は普通に不定積分します。
となります（Cは積分定数）。
さて，問３ですが，
ｔ＝π/3のとき，x＝0，y＝√3，
t＝2π/3のとき，x＝－１，y＝0 (x軸との交点，(2,0)もx軸上）
となるので，t＝πからπ/3まで問2の積分を実行すればよいのですが，
一応，x，yを用いた定積分の式を書いて，それをtで置換した形に置き換えるほうが
（記述式答案としては）よいでしょう。
つまり，
あとは，問2で計算した不定積分を使って計算するだけです。
となります。
教科書の媒介変数表示と面積の応用例題レベルの知識と，傍用問題集で練習を積んでいるなら，楽に解くことできる問題でした。