こんにちは、高谷です。
新年あけましておめでとうございます。
メルマガの方では配信しましたが、
ブログではすっかりご挨拶が遅くなってしまいました…。
年も明け、いよいよ受験です。
まずは中学受験。
今週末には大阪兵庫などの統一入試日ですね。
落ち着かない時期ではあると思いますが、
直前に確認したところがそのまま試験に出た！
なんてことも十分にあり得ます。
今回からしばらくは、入試問題の定番とも言える
西暦「2017」にちなんだ問題予想と、その解説を行いたいと思います。
よくあるのは、「算数」と「社会」の問題ですね。
まずは算数から。
それでは、いきましょう！
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「2017」という数をどういう風に入試に絡めるのか、
という具体的な話からまずは始めたいと思います。
たとえば、毎年恒例でこんな問題が出題されます。
＜問1＞
1から2017までの整数をすべてかけた数
1×2×3×……×2015×2016×2017
を計算すると、末部に0がいくつ並ぶか。
よくある「数字」の問題です。
解答・解説を以下に記します。
↓↓
はじめに、数の性質について知っておきましょう。
かけ算をした際、うしろに0がつくということは、
・（10の倍数）はいくつあるか
・（5の倍数）×（2の倍数）の組はいくつあるか
という問題と同じです。
3×10=30
7×20=140
11×80=880
というように、どんな数のかけ算であれ、
10の倍数をかけるとその時点で
無条件に末部に0が1つつきます。
同様に、
13×100=1300
17×1000=17000
など、
100をかけると末部に0が2つつき、
1000をかけると末部に0が3つつきます。
同じく、（5の倍数）×（2の倍数）について、
たとえば、1〜5までの数をかけ算すると、
1×2×3×4×5=120
と、0が末部にひとつつくことになります。
これは、2×5が含まれていることで、
10をひとつかけ算したのと同じ意味になるからです。
これはすなわち、
「5」がひとつ入っている
⇒かけ算すると末部の「0」ひとつ分になる
ということです。
また、
25=5×5
125=5×5×5
625=5×5×5×5
という風に、ひとつの数字の中に5が2つ以上含まれている場合もあります。
これは、
25×4=100
125×8=1000
625×16=10000
「25」をかけ算する⇒末部の「0」ふたつ分
「125」をかけ算する⇒末部の「0」みっつ分
「625」をかけ算する⇒末部の「0」よっつ分
ということです。
ここで、最初に確認した10の倍数は、5の倍数でもあります。
「10」の中にも「5」がひとつ入っているのです。
なので、10の倍数、5の倍数をあわせまして、上記の問題は、
2017までに「5」がいくつ入っているかを答えなさい。
という問題だと考えてみましょう。
図で表すと、以下のとおりになります。
よって、1〜2017の間に、
5の倍数（①の円の中身）は
2017÷5=403あまり2⇒403個
25の倍数（②の円の中身）は
2017÷25=80あまり17⇒80個
125の倍数（③の円の中身）は
2017÷125=16あまり17⇒16個
625の倍数（④の円の中身）は
2017÷625=3あまり142⇒3個
あります。
すなわち、
625の倍数の数（赤色の部分）：
（④の円）=3個
→かけ算すると0が4つ増える
125の倍数だが625の倍数ではない（青色の部分）：
（③の円）-（④の円）=16-3=13個
→かけ算すると0が3つ増える
25の倍数だが125や625の倍数ではない（緑色の部分）：
（②の円）-（③の円）=80-16=64個
→かけ算すると0が2つ増える
5の倍数だが25や125や625の倍数ではない（黄色の部分）：
（①の円）-（②の円）=403-80=323個
→かけ算すると0が1つ増える
だから、これらすべてをかけ算することで増える0の個数は、
3×4＋13×3＋64×2＋323×1
=502個
となります。
＜答え＞
502個
ポイントは、倍数の性質を押さえられているかどうかです。
5の倍数に限らず、数の性質をまとめておきましょう。
２の倍数：下一桁が2で割れる（偶数）
３の倍数：各桁の和が3で割れる
４の倍数：下二桁が4で割れる、もしくは「00」
５の倍数：下一桁が0か5
６の倍数：各桁の和が3の倍数、かつ偶数
８の倍数：下三桁が8で割れる、もしくは「000」
９の倍数：各桁の和が9で割れる
10の倍数：下一桁が0
３の倍数：各桁の和が3で割れる
４の倍数：下二桁が4で割れる、もしくは「00」
５の倍数：下一桁が0か5
６の倍数：各桁の和が3の倍数、かつ偶数
８の倍数：下三桁が8で割れる、もしくは「000」
９の倍数：各桁の和が9で割れる
10の倍数：下一桁が0
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「2017」は、「素数」でもあります。
また、平成29年の「29」も素数。
素数とは、1とその数でしか割れない数です。
約数を持っていない数、という言い方も出来ます。
ここから、今年は約数に関する問題が出題されることも予想されます。
「素因数分解」など、まだあやふやな受験生は、
必ず確認しておきましょう。
わからないところ、苦手なところは
気軽にご質問ください！
次回はもう1問、出そうな算数の問題を解説しまして、
社会に移りたいと思います。
それでは、
今回もお読みくださりありがとうございました。
講師プロフィール
高谷弘康（たかやひろやす）
小学生〜高校生までを対象とした集団塾・個別指導・家庭教師などで
100人以上の生徒や保護者と向き合う。
現在は受験という要素をテーマに、
保護者とその子どもとの向き合い関係の指導に取り組んでいる。
学生時代から予備校に通わず、自らの試行錯誤をもとに独学で東大を受験。
結果、現役で東京大学文科一類に合格。東京大学法学部を卒業。
新卒でマスコミ企業に就職し、
各種番組や知育本教材編集ディレクターなどの経験を経て起業。
センター試験857点/900点（5教科7科目）
東京大学合格点数393.733点/550点（文科一類）
高谷弘康（たかやひろやす）
小学生〜高校生までを対象とした集団塾・個別指導・家庭教師などで
100人以上の生徒や保護者と向き合う。
現在は受験という要素をテーマに、
保護者とその子どもとの向き合い関係の指導に取り組んでいる。
学生時代から予備校に通わず、自らの試行錯誤をもとに独学で東大を受験。
結果、現役で東京大学文科一類に合格。東京大学法学部を卒業。
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