Get の過去形である Got は 現在形である Have の俗語である場合があります。もっと言えば、Get の完了形である Have got も同じ意味になります。つまり、
Have ＝ Got ＝ Have got
と、この３つは同じ用法のときがあります。
そもそも現在形と過去形と現在完了形がなぜ同じになるのか、ピコ太郎で説明します。
I have a pen～
ペンを持っているという状態にあります。こうなるためには、過去のある一点でペンをゲットしたからこそです。だから、I got a pen という結果、今 I have a pen なのです。この2つは同じ。訳は両方とも「私ペン持っとるで」です。ここから考えると、現在完了形の Have got も同じ意味であることは実に理にかなっています。ある過去の一点からずっと継続して今もなお続いているのが現在完了形の一用法なのですから、過去のある一点でゲットしたペンをずっと今もなお離さず持っているという継続です。だから I have got a pen も時制の少ない日本語にしたら寸分たがわず「私ペン持っとるで」です。
Have to というのは、ハフトゥと濁らず発音し、「～しなくてはならない」という意味に変わりますね。上の式、Have ＝ Got ＝ Have got に当てはめると、
Got to も Have got to も「～しなくてはならない」ということになるのでしょうか？
そうなんです。
I have to go. も
I got to go. も
I've got to go. もすべて
「拙者、行かねばならぬ」 なのです。
「ちょっと時間ある？」と呼び止めるときの表現がなぜ
Got a minute?
と過去形なのか、なぞが解けたような気がしませんか？
（Do you） have a minute? と言っているのと同じなのです。
なお、Got to は早く詰まって（怠けて）発音されて「ガラ」と言っているように聞こえます。なんかよく「ガラガラ」って言ってるの耳にするんですよね～とみなさんよくおっしゃいますが、「しなきゃ、しなきゃ」と言ってるんです。Got a の並びも「ガラ」と聞こえますので、その並びで「ガラ」と耳にしている場合も多くあるでしょう。
ピコ太郎には I ガラ pen～ バージョンもぜひ出していただきたいです。同じことなので
ちなみにこの辺のアメリカの子供たちは、それこそ間違えてよく、I got a pen〜 と歌っていました！ほんとうに！
Have と Got ではニュアンスが違うのか？
違います！
もし何一つ違わず全く同じ意味になるのであれば、このように2つ存在することは言語学的にあり得ないのです。違うから両方生き残るのです。それは翻訳では表しずらいニュアンスの差ですが。
ニュアンスまで知りたい方は、それはもう『大人のための英会話』に来るしかありません。