cos36°の導出方法

「＊」はかけ算。

「＾」は累乗。

ここでは度の記号を省略して、cos36と書きます。
(単にcos36ではcos(36rad)であることは承知の上です)

３倍角の公式より、

4*(cos36)^3-3*cos36＝cos(3*36)＝cos108

ここで、倍角の公式より

cos108＝cos(180-72)＝-cos72＝1-2*(cos36)^2

∴4*(cos36)^3-3*cos36＝1-2*(cos36)^2

x＝cos36と置くと、

4x^3-3x+2x^2-1＝0

を解けばよい。

4x^3-3x+2x^2-1＝(x+1)(4x^2-2x-1)＝0

4x^2-2x-1＝0の解は、

x＝(1±√5)/4

なので、

x＝-1,(1±√5)/4

ここで、cos36>0なので、

x＝(1+√5)/4

∴cos36＝(1+√5)/4

のコピペです。

α＝36°とおくと、

10α＝360°

5α＝180°

3α＝180°-2α

両辺の余弦を取ると

cos3α＝cos(180°-2α)

cos3α＝-cos2α

ここまでやってから上の証明にいくとわかりやすいかも。

ちなみに3α＝108°です。

累乗が見づらいけど勘弁してください