下図のような、辺 BC が辺 AD の 2 倍の長さである四角形 ABCD において、∠BCD の大きさを求めよ。

（答えは↓）

答え：∠BCD = 84°

△ABD に合同な三角形を 2 つ合わせて、頂角が 48° となる二等辺三角形 EFG (EF = EG = BD とする) をつくると、その底辺 FG の長さは辺 BC に等しくなり、FG を BC に重ねてできる四角形 DBEC を考えれば

∠DBE = 42° + 66° = 108°

DB = BE

となる。ここで、辺 EC を 1 辺とする正三角形 ECH を考えると

∠BEH = 48° + 60° = 108°

BE = EH

となる。さらに、辺 EH の中点を M として、辺 CM を線対称の軸として二等辺三角形 BEC を折り返せば

∠IHE = 48° + 60° = 108°

EH = HI

となるような二等辺三角形 IHC をつくることができる。△DBE と △IHE について

DB = IH

BE = HE

∠DBE = 108° = ∠IHE

より、△DBE ≡ △IHE だから

DE = IE

となり、△DEI は二等辺三角形となる。

∠DEI = ∠BEH − (∠BED + ∠HEI)

= 108° − (36° + 36°)

= 36°

だから

∠DIE = (180° − 36°)/2

= 72°

∴ ∠DIH = ∠DIE + ∠HIE

= 72° + 36°

= 108°

となるから

∠BDI = 540° − 4・108°

= 108°

よって、五角形 DBEHI は正五角形である (CM に対して、点 B と I, E と H がそれぞれ線対称な点)。したがって求める角度は、∠BCD = ∠ICD より

∠BCD = { 360° − (66° + 60° + 66°) }/2

= 84°

算数・数学③＊⑩＊⑩＋⑨