下図において、∠x の大きさを求めよ。

（答えは↓）

答え： 20°

上図において、∠BAC = 60° である。線分 AB の長さに等しい補助線 AE を引くと、△ABE と △AEC はそれぞれ二等辺三角形となり、AB = AE = EC となる。さらに、EC の長さに等しい補助線 BF を引き、また正三角形 ABG を描き、A と F, E と G, F と G をそれぞれ結ぶと

∠AEC = ∠ABF, AE = AB, EC = BF より

△AEC ≡ △ABF

∴

∠AEC = ∠ABF = 100°,

∠EAC = ∠BAF = 40°

∠ABG = 60° だから

∠GBF = ∠ABF − ∠ABG

= 100° − 60°

= 40°

BF = BG だから、△BFG は二等辺三角形であり

∠BFG = (180° − 40°)/2 = 70°

よって

∠BFG = ∠ECD・・・①

また、△AEG に着目すると、AE = AG の二等辺三角形であり

∠EAG = ∠EAB + ∠BAG

= 20° + 60°

= 80°

だから

∠AEG = (180° − 80°)/2 = 50°

よって

∠FEG = ∠AEB − ∠AEG

= 80° − 50°

= 30°

∴ ∠FEG = ∠CBD・・・②

したがって ①, ② より、二等辺三角形 ABE の垂直二等分線を線対称の軸と考えたとき、軸に対して C と F, D と G はそれぞれ対称な点同士となるから

∠x = ∠CAD

= ∠FAG

= ∠BAG − ∠BAF

= 60° − 40°

= 20°

算数・数学③＊⑩＊⑩＋⑦