今日は、複雑な因数分解についてやっていきます。
それでは早速例題です。難しいと思いますが、じっくり時間をかけて考えてください。
例題
以下の式を因数分解せよ
(1) (𝒙+1)(𝒙+3)+1 ★
(2) (𝒙+𝒚-2)(𝒙+𝒚+4)+5 ★★
(3) 𝒙⁴-10𝒙²+9 ★★
(4) 𝒙²+𝒙𝒚+2𝒚-4 ★★
(5) 𝒂²(𝒃-𝒄)+𝒃²(𝒄-𝒂)+𝒄²(𝒂-𝒃) ★★★
例題の解答
(1) (𝒙+1)(𝒙+3)+1=𝒙²+4𝒙+3+1=𝒙²+4𝒙+4
=(𝒙+2)²
(2) (𝒙+𝒚-2)(𝒙+𝒚+4)+5={(𝒙+𝒚)-2}{(𝒙+𝒚)+4}+5
=(𝒙+𝒚)²+2(𝒙+𝒚)-8+5=(𝒙+𝒚)²+2(𝒙+𝒚)-3
=(𝒙+𝒚+3)(𝒙+𝒚-1)
(3) 𝒙⁴-10𝒙²+9=(𝒙²)²-10𝒙²+9=(𝒙²-9)(𝒙²-1)
=(𝒙+3)(𝒙-3)(𝒙+1)(𝒙-1)
(4) 𝒙²+𝒙𝒚+2𝒚-4=(𝒙+2)𝒚+(𝒙²-4)
=(𝒙+2)𝒚+(𝒙+2)(𝒙-2)=(𝒙+2)(𝒚+𝒙-2)
=(𝒙+2)(𝒙+𝒚-2)
(5) 𝒂²(𝒃-𝒄)+𝒃²(𝒄-𝒂)+𝒄²(𝒂-𝒃)
=𝒂²(𝒃-𝒄)+𝒃²𝒄-𝒃²𝒂+𝒄²𝒂-𝒄²𝒃
=(𝒃-𝒄)𝒂²+(𝒄²-𝒃²)𝒂+𝒃²𝒄-𝒄²𝒃
=(𝒃-𝒄)𝒂²-(𝒃²-𝒄²)𝒂+𝒃𝒄(𝒃-𝒄)
=(𝒃-𝒄)𝒂²-(𝒃+𝒄)(𝒃-𝒄)𝒂+𝒃𝒄(𝒃-𝒄)
=(𝒃-𝒄){𝒂²-(𝒃+𝒄)𝒂+𝒃𝒄}=(𝒃-𝒄)(𝒂-𝒃)(𝒂-𝒄)
今回のポイント
①展開しすぎない
()が含まれる式は展開することで解けますが、無闇矢鱈な展開は計算量を増やす元凶です。
②かたまりをつくる
例題の(2)や(3)のように、(𝒙+𝒚)や𝒙²といったかたまりを考えることで、因数分解しやすくなることがあります。
③次数の低い文字について整理する
例題の(4)の式には、𝒙と𝒚の2文字がありますが、次数の低い𝒚について整理すると因数分解しやすくなっています。次数が同じ場合はどちらの文字について整理しても構いません。
演習問題
(1) 𝒙⁴-3𝒙²+4 ★★
(2) 𝒂³+𝒂𝒃-𝒂𝒄²+𝒃𝒄 ★★
(3) (𝒙+2𝒚+1)(𝒙+2𝒚-2) ★★
(4) 𝒂𝒃(𝒂+𝒃)+𝒃𝒄(𝒃+𝒄)+𝒄𝒂(𝒄+𝒂)+2𝒂𝒃𝒄 ★★★
(5) (𝒙+2𝒚-3)(𝒙-𝒚-3)+𝒚(2𝒚-𝒙+3) ★★★
演習問題の解答
(1) 𝒙⁴-3𝒙²+4=(𝒙²)²-3𝒙²+4=(𝒙²-4)(𝒙²+1)
=(𝒙+2)(𝒙-2)(𝒙²+1)
(2) 𝒂³+𝒂𝒃-𝒂𝒄²+𝒃𝒄=(𝒂+𝒄)𝒃+𝒂³-𝒂𝒄²=(𝒂+𝒄)𝒃+𝒂(𝒂²-𝒄²)
=(𝒂+𝒄)𝒃+𝒂(𝒂+𝒄)(𝒂-𝒄)=(𝒂+𝒄){𝒃+𝒂(𝒂-𝒄)}
=(𝒂+𝒄)(𝒂²-𝒂𝒄+𝒃)
(3) (𝒙+2𝒚+1)(𝒙+2𝒚-2)={(𝒙+2𝒚)+1}{(𝒙+2𝒚)-2}
=(𝒙+2𝒚)²-(𝒙+2𝒚)-2=(𝒙+2𝒚-2)(𝒙+2𝒚+1)
(4) 𝒂𝒃(𝒂+𝒃)+𝒃𝒄(𝒃+𝒄)+𝒄𝒂(𝒄+𝒂)+2𝒂𝒃𝒄
=𝒂²𝒃+𝒂𝒃²+𝒄²𝒂+𝒄𝒂²+2𝒂𝒃𝒄+𝒃𝒄(𝒃+𝒄)
=(𝒃+𝒄)𝒂²+(𝒃²+𝒄²+2𝒃𝒄)𝒂+𝒃𝒄(𝒃+𝒄)
=(𝒃+𝒄)𝒂²+(𝒃+𝒄)²𝒂+𝒃𝒄(𝒃+𝒄)
=(𝒃+𝒄){𝒂²+(𝒃+𝒄)𝒂+𝒃𝒄}=(𝒃+𝒄)(𝒂+𝒃)(𝒂+𝒄)
(5) (𝒙+2𝒚-3)(𝒙-𝒚-3)+𝒚(2𝒚-𝒙+3)
={(𝒙-3)+2𝒚}{(𝒙-3)-𝒚}+𝒚(2𝒚-𝒙+3)
=(𝒙-3)²+𝒚(𝒙-3)-2𝒚²+𝒚(2𝒚-𝒙+3)
=(𝒙-3)²+𝒚(𝒙-3)-2𝒚²+2𝒚²-𝒙𝒚+3𝒚
=(𝒙-3)²+𝒚(𝒙-3)-𝒚(𝒙-3)=(𝒙-3)²