今回は、因数分解についてやっていきます。
𝜶²+2𝒂𝒃+𝒃²=(𝒂+𝒃)²
𝒂²-𝒃²=(𝒂+𝒃)(𝒂-𝒃)
のように、単項式の和を多項式の積になおすことを、因数分解といいます。
今回のポイント
因数分解の公式
(1) 𝒂²+2𝒂𝒃+𝒃²=(𝒂+𝒃)²
(2) 𝒂²-𝒃²=(𝒂+𝒃)(𝒂-𝒃)
(3) 𝒂𝒄𝒙²+(𝒂𝒅+𝒃𝒄)𝒙+𝒃𝒅=(𝒂𝒙+𝒃)(𝒄𝒙+𝒅)
(4) 𝒂²+𝒃²+𝒄²+2𝒂𝒃+2𝒃𝒄+2𝒄𝒂=(𝒂+𝒃+𝒄)²
(5) 𝒂³+𝒃³=(𝒂+𝒃)(𝒂²-𝒂𝒃+𝒃²)
例題
以下の式を因数分解せよ
(1) 𝒂²-2𝒂𝒃+𝒃² ★
(2) 𝒂³-𝒃³ ★★
例題の解答
(1) 𝒂²-2𝒂𝒃+𝒃²=𝒂²+2𝒂×(-𝒃)+(-𝒃)²={𝒂+(-𝒃)}²=(𝒂-𝒃)²
(2) 𝒂³-𝒃³=𝒂³+(-𝒃)³={𝒂+(-𝒃)}{𝒂²+𝒂×(-𝒃)+(-𝒃)²}
=(𝒂-𝒃)(𝒂²+𝒂𝒃+𝒃²)
さてみなさん、なにか気付いたことはありませんか？
そうです！展開と逆の操作ですね！
ではそのことに気付いたうえで計算練習してみましょう。
演習問題
以下の式を因数分解せよ
(1) 𝒙²+4𝒙+4 ★
(2) 𝒙²-9𝒚² ★
(3) 6𝒙²+5𝒙+1 ★
(4) 8𝒙³-27 ★★
(5) 𝒂²+4𝒃²+9𝒄²+4𝒂𝒃+12𝒃𝒄+6𝒄𝒂 ★★★
演習問題の解答
(1) 𝒙²+4𝒙+4=𝒙²+2×2×𝒙+2²=(𝒙+2)²
(2) 𝒙²-9𝒚²=𝒙²-(3𝒚)²=(𝒙+3𝒚)(𝒙-3𝒚)
(3) 6𝒙²+5𝒙+1=2×3×𝒙+(2+3)𝒙+1=(2𝒙+1)(3𝒙+1)
(4) 8𝒙³-27=(2𝒙)³-3³=(2𝒙-3)(4𝒙²+6𝒙+9)
(5) 𝒂²+4𝒃²+9𝒄²+4𝒂𝒃+12𝒃𝒄+6𝒄𝒂
=𝒂²+(2𝒃)²+(3𝒄)²+2×2×𝒂𝒃+2×2×3×𝒃𝒄+2×3×𝒄𝒂
=(𝒂+2𝒃+3𝒄)²