今回は複雑な展開公式についてやっていきます。
今回のポイント
複雑な展開公式
(1) (𝒂+𝒃+𝒄)²=𝒂²+𝒃²+𝒄²+2𝒂𝒃+2𝒃𝒄+2𝒄𝒂
(2) (𝒂+𝒃)³=𝒂³+3𝒂²𝒃+3𝒂𝒃²+𝒃³
(3) (𝒂-𝒃)³=𝒂³-3𝒂²𝒃+𝒂𝒃²-𝒃³
(4) (𝒂+𝒃)(𝒂²-𝒂𝒃+𝒃²)=𝒂³+𝒃³
(5) (𝒂-𝒃)(𝒂²+𝒂𝒃+𝒃²)=𝒂³-𝒃³
前回と同様、確かめていきましょう。
例題
以下の式を展開せよ
(1) (𝒂+𝒃+𝒄)² ★★
(2) (𝒂+𝒃)³ ★★
(3) (𝒂-𝒃)³ ★★
(4) (𝒂+𝒃)(𝒂²-𝒂𝒃+𝒃²) ★
(5) (𝒂-𝒃)(𝒂²+𝒂𝒃+𝒃²) ★
例題の解答
(1) (𝒂+𝒃+𝒄)²={(𝒂+𝒃)+𝒄}²=(𝒂+𝒃)²+2𝒄(𝒂+𝒃)+𝒄²
=𝒂²+2𝒂𝒃+𝒃²+2𝒂𝒄+2𝒃𝒄+𝒄²
=𝒂²+𝒃²+𝒄²+2𝒂𝒃+2𝒃𝒄+2𝒄𝒂
(2) (𝒂+𝒃)³=(𝒂+𝒃)(𝒂+𝒃)²=𝒂(𝒂+𝒃)²+𝒃(𝒂+𝒃)²
=𝒂(𝒂²+2𝒂𝒃+𝒃²)+𝒃(𝒂²+2𝒂𝒃+𝒃²)
=𝒂³+2𝒂²𝒃+𝒂𝒃²+𝒂²𝒃+2𝒂𝒃²+𝒃³
=𝒂³+3𝒂²𝒃+3𝒂𝒃²+𝒃³
(3) (𝒂-𝒃)³=(𝒂-𝒃)(𝒂-𝒃)²=𝒂(𝒂-𝒃)²-𝒃(𝒂-𝒃)²
=𝒂(𝒂²-2𝒂𝒃+𝒃²)-𝒃(𝒂²-2𝒂𝒃+𝒃²)
=𝒂³-2𝒂²𝒃+𝒂𝒃²-𝒂²𝒃+2𝒂𝒃²-𝒃³
=𝒂³-3𝒂²𝒃+3𝒂𝒃²-𝒃³
(4) (𝒂+𝒃)(𝒂²-𝒂𝒃+𝒃²)=𝒂(𝒂²-𝒂𝒃+𝒃²)+𝒃(𝒂²-𝒂𝒃+𝒃²)
=𝒂³-𝒂²𝒃+𝒂𝒃²+𝒂²𝒃-𝒂𝒃²+𝒃³=𝒂³+𝒃³
(5) (𝒂-𝒃)(𝒂²+𝒂𝒃+𝒃²)=𝒂(𝒂²+𝒂𝒃+𝒃²)-𝒃(𝒂²+𝒂𝒃+𝒃²)
=𝒂³+𝒂²𝒃+𝒂𝒃²-𝒂²𝒃-𝒂𝒃²-𝒃³=𝒂³-𝒃³
すべての式が成り立つことが確認できました。
それでは計算練習です。
演習問題
以下の式を展開せよ
(1) (𝒂+2𝒃+3𝒄) ★★
(2) (𝒂+2)³ ★★
(3) (4𝒂-3)³ ★★
(4) (𝒂+9)(𝒂²-9𝒂+81) ★
(5) (3𝒙-2)(9𝒂²+6𝒙+4) ★
演習問題の解答
(1) (𝒂+2𝒃+3𝒄)²=𝒂²+(2𝒃)²+(3𝒄)²+4𝒂𝒃+12𝒃𝒄+6𝒄𝒂
=𝒂²+4𝒃²+9𝒄²+4𝒂𝒃+12𝒃𝒄+6𝒄𝒂
(2) (𝒂+2)³=𝒂³+6𝒂²+6𝒂+8
(3) (4𝒂-3)³=64𝒂³-144𝒂²+108𝒂-27
(4) (𝒂+9)(𝒂²-9𝒂+81)=𝒂³+9³=𝒂³+729
(5) (3𝒙-2)(9𝒙²+6𝒙+4)=(3𝒙)³-2³=27𝒙³-8