今回は、２次式の展開公式についてやっていきます。
(𝒂+𝒃)²=𝒂²+2𝒂𝒃+𝒃²
(𝒂-𝒃)²=𝒂²-2𝒂𝒃+𝒃²
のように、よく使うので覚えておくと便利な公式が存在します。今回はそれらを覚えましょう。
今回のポイント
展開公式
(1) (𝒂+𝒃)²=𝒂²+2𝒂𝒃+𝒃²
(2) (𝒂-𝒃)²=𝒂²-2𝒂𝒃+𝒃²
(3) (𝒂+𝒃)(𝒂-𝒃)=𝒂²-𝒃²
(4) (𝒙+𝒂)(𝒙+𝒃)=𝒙²+(𝒂+𝒃)𝒙+𝒂𝒃
(5) (𝒂𝒙+𝒃)(𝒄𝒙+𝒅)=𝒂𝒄𝒙²+(𝒂𝒅+𝒃𝒄)𝒙+𝒃𝒅
例えば、(5)の式について、左辺を展開すると右辺になることを確かめてみましょう。
(𝒂𝒙+𝒃)(𝒄𝒙+𝒅)=𝒂𝒙(𝒄𝒙+𝒅)+𝒃(𝒄𝒙+𝒅)
=𝒂𝒄𝒙²+𝒂𝒅𝒙+𝒃𝒄𝒙+𝒃𝒅
=𝒂𝒄𝒙²+(𝒂𝒅+𝒃𝒄)𝒙+𝒃𝒅
確かに(5)式は成り立つことが分かりました。他の4式についても確かめてみましょう。
例題
以下の式を展開せよ
(1) (𝒂+𝒃)² ★
(2) (𝒂-𝒃)² ★
(3) (𝒂+𝒃)(𝒂-𝒃) ★
(4) (𝒙+𝒂)(𝒙+𝒃) ★
例題の解答
(1) (𝒂+𝒃)²=𝒂(𝒂+𝒃)+𝒃(𝒂+𝒃)=𝒂²+𝒂𝒃+𝒂𝒃+𝒃²=𝒂²+2𝒂𝒃+𝒃²
(2) (𝒂-𝒃)²=𝒂(𝒂-𝒃)-𝒃(𝒂-𝒃)=𝒂²-𝒂𝒃-𝒂𝒃+𝒃²=𝒂²-2𝒂𝒃+𝒃²
(3) (𝒂+𝒃)(𝒂-𝒃)=𝒂(𝒂-𝒃)+𝒃(𝒂-𝒃)=𝒂²-𝒂𝒃+𝒂𝒃-𝒃²=𝒂²-𝒃²
(4) (𝒙+𝒂)(𝒙+𝒃)=𝒙(𝒙+𝒃)+𝒂(𝒙+𝒃)=𝒙²+𝒃𝒙+𝒂𝒙+𝒂𝒃
=𝒙²+(𝒂+𝒃)𝒙+𝒂𝒃
確かに、すべての式が成り立つことが分かりました。それでは、実際に計算問題を解いていきましょう。
演習問題
以下の式を展開せよ
(1) (2𝒂+𝒃)² ★
(2) (𝒂-3𝒃)² ★
(3) (2𝒙+3𝒚)(2𝒙-3𝒚) ★
(4) (4𝒙+1)(3𝒙-2) ★
演習問題の解答
(1) (2𝒂+𝒃)²=(2𝒂)²+2×2𝒂×𝒃+𝒃²=4𝒂²+4𝒂𝒃+𝒃²
(2) (𝒂-3𝒃)²=𝒂²+2×𝒂×(-3𝒃)+(-3𝒃)²=𝒂²-6𝒂𝒃+9𝒃²
(3) (2𝒙+3𝒚)(2𝒙-3𝒚)=(2𝒙)²-(3𝒚)²=4𝒙²-9𝒚²
(4) (4𝒙+1)(3𝒙-2)=12×𝒙²+{4×(-2)+3×1}𝒙-2
=12𝒙²-5𝒙-2