こんにちは

こんにちは．黒岩俊太郎です．

僕の大好きなHipHopクルーであるMall Boyzの活動再開が嬉しいです．

もしかしたら人によってはくそつまらん内容かもしれません．気をつけてください．

さてさて

JAXAの宇宙機設計標準熱制御系設計標準によると軌道熱入力の強度と方向を決定するためには軌道面太陽角(いわゆるβ角)の年変化を考えることが必要です．このβ角についての英語の資料はたくさんあるのに導出についての日本語資料が見つからないです．僕の調べ方が悪い可能性もありますが見つからないです．見つからないです．英語の資料でもいいですが日本語の資料がある方が助かるのでここに記します．こういうの書くの初めてなので間違ってたら優しく教えてください．

β角とは軌道面と太陽方向ベクトルのなす角です．まずは次のような地球中心赤道面基準慣性座標系を考えます．(関係ないけど，この図可愛いですね．)楕円を正確に書くのはめんどくさかったですごめんなさい．

まずは太陽方向ベクトルについて考えます．太陽方向ベクトルは[1,0,0]ベクトルをオイラー角表現を用いてZ軸まわりに太陽の赤経 $\Omega_s$ 回転させ，その後Y軸まわり(右ネジと逆)に太陽の赤緯 $\delta_s$ 回転させます．

$\widehat{s} = \begin{bmatrix} \cos \Omega_s & -\sin \Omega_s & 0 \\ \sin \Omega_s & \cos \Omega_s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos (-\delta_s) & 0 & \sin (-\delta_s) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (-\delta_s) & 0 & \cos (-\delta_s) \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \cos \Omega_s \cos \delta_s \\ \sin \Omega_s \cos \delta_s \\ \sin \delta_s \end{Bmatrix}$

次に軌道面法線ベクトルについて考えます．軌道面法線ベクトルは[0,0,1]をZ軸周りに昇交点赤経 $\Omega$ 回転させて，その後X軸周りに軌道傾斜角 $i$ 回転させます．

$\widehat{s} = \begin{bmatrix} \cos \Omega & -\sin \Omega & 0 \\ \sin \Omega & \cos \Omega & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos i & -\sin i \\ 0 & \sin i & \cos i \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \sin \Omega \sin i \\ -\cos \Omega \sin i \\ \cos i \end{Bmatrix}$

そして，太陽方向ベクトル $\widehat{s}$ と軌道面の法線ベクトル $\widehat{o}$ のなす角を求めて，その角度から90度引けばβ角得られます．( $\beta = \phi - \pi/2$ )

$\cos \phi = \widehat{o} \cdot \widehat{s} = \begin{Bmatrix} \sin \Omega \sin i \\ -\cos \Omega \sin i \\ \cos i \end{Bmatrix}^T \begin{Bmatrix} \cos \Omega_s \cos \delta_s \\ \sin \Omega_s \cos \delta_s \\ \sin \delta_s \end{Bmatrix}$

これを $\beta$ について整理すると

$\beta = \sin^{-1}(\cos \delta_s \sin i sin( \Omega-\Omega_s)+\sin \delta_s \cos i)$

なお，参考文献1の資料では，太陽方向ベクトルを求めるときに太陽の黄経と地軸の傾きを用いて計算しています．

すっ飛ばしてる部分もあるかもしれませんが導出終わりです．こいつめっちゃ便利なんです．これの年変化とそれによる日照率への影響は機会と余裕があれば書きます．余談ですが卒業までに宇宙機の熱入力(LEO，小型衛星のみ)を自分で書いたソフトで計算するという目標が増えた今日この頃です．仲間募集中です．

バイバイ！！！！！！！！！！！

参考文献

Steven L. Rickman, Introduction to On-Orbit Thermal Environments
JAXA, 宇宙機設計標準熱制御系設計標準
後輩の輪講資料