松本幸夫先生の「Morse理論の基礎」読み始めました。
出だしで、関数の臨界点が非退化ならば、その関数は
任意の摂動を加えても非退化であり、
その関数の臨界点が退化ならば任意の摂動を加えると、
その正則性が保存されない、とありました。
例えば、
２変数関数 f(x,y)=x^3+y^3 の臨界点(0,0)は退化であるが、
摂動 ax^2+by^2(a≠0,b≠0)を与えた関数h(x,y)=x^3+y^3+ax^2+by^2の
４つの臨界点(-2a/3,0),(0,-2b/3),(0,0),(-2a/3,2b/3)について
前者２つはヘッセ行列の行列式が０だから退化、後者２つは０でないので非退化となる。
これを所謂微分方程式論でいうと、以下のようでしょうか。
上の例の３次関数で、臨界点は一階偏微分した２次関数で決まるので、ここで、話を１変数ベクトルのquadraticな物理システムについて考えると
以下のシステムについて、
dx/dt=x~AxE-ax (a≠０）
xはｎ次ベクトル、x^はxの転置、Aはエルミート行列、Eは単位行列、aはパラメータ。
ここでAはエルミートだから、対角化できてベクトルxの各成分は2次形式で
表現できるから、上のシステムを
dx/dt=x^2-ax
xはスカラの変数
と表現できる。すると、
これは、無摂動（a=0）の時、一つのbistableなsaddleだった臨界点が、摂動を加える(a≠0)ことにより
pitchfork分岐すなわち、２つのmonostableな臨界点へのtranscritical分岐を起こしているということでしょうか。
私には物理変数が２つ以上になると、全く予想がつきません。。。
幾何学の本ですが、読破したいです。。。