3次元空間を直交座標系O-xyzで記述する。座標系O-xyzを座標軸x周りに角α、y軸周りに角β、さらにz軸周りに角γだけ回転してなる新しい座標系をO-x’y’z’とする。O-xyz系で(x1,y1,z1)と表される点はO-x’y’z’ではどのように表されるだろうか。
ここで、座標軸x周りに角αだけ回転する場合を考え、座標変換により点(x,y,z)が点(X,Y,Z)で表せたとする。以下の図を参照して、
X= x ＋０y ＋０z
Y=０x ＋ycosα ＋zsinα
Z=０x －ysinα ＋zcosα
同様に、点(x,y,z)が座標軸yのβ回転により(X,Y,Z)に変換されたとして
X=xcosβ ＋０y －zsinβ
Y=０x ＋y ＋０z
Z=xsinβ ＋０y ＋zcosβ
同様に、点(x,y,z)が座標軸zのγ回転により
X= xcosγ ＋ysinγ ＋０z
Y=－xsinγ ＋ycosγ ＋０z
Z=０x ＋０y ＋z
上の(x,y,z)の係数行列をそれぞれRotx(α)、Roty(β)およびRotz(γ)と表記し、題の座標変換によりO-xyz系での点(x1,y1,z1)がO-x’y’z’系で(x1’,y1’,z1’)に変換されたとすると
(公式１）
(x1’,y1’,z1’)^=Rotz(γ)Roty(β)Rotx(α)(x1,y1,z1)^
（^はベクトルの転置を表す。）
となる。ここで、
Rotx(α)、Roty(β)およびRotz(γ)は以下の行列である。
ps
上の座標変換はオイラーの角として知られ、例えばロボットのアームの位置決めなどで重要です。